2018-2019学年九年级数学上册 第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数（第2课时）

1第2课时实际问题与二次函数(2)知能演练提升能力提升1.某足球队在某次训练中,一队员在距离球门12m处挑射,正好射中了2.4m高的球门横梁,若足球运动的路线是抛物线y=ax2+bx+c,如图,有下列结论:①a-;②-a0;③a-b+c0;④0b-12a.其中正确的结论是()A.①③B.①④C.②③D.②④2.一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图①),拱高为6m,跨度为20m,相邻两支柱间的距离均为5m.(1)将抛物线放在所给的平面直角坐标系中(如图②),求抛物线的解析式.(2)求支柱EF的长度.(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说明你的理由.23.如图,某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分,抛物线的顶点O落在水平面上,对称轴是水平线OC.点A,B在抛物线造型上,且点A到水平面的距离AC=4m,点B到水平面的距离为2m,OC=8m.(1)请建立适当的平面直角坐标系,求抛物线的函数解析式;(2)为了安全美观,现需在水平线OC上找一点P,用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA,PB对抛物线造型进行支撑加固,那么怎样才能找到两根支柱用料最省(支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑)时的点P?(无需证明)(3)为了施工方便,现需计算出点O,P之间的距离,那么两根支柱用料最省时点O,P之间的距离是多少?(请写出求解过程)创新应用★4.某公司在固定线路上运输,拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩.Q=W+100,而W的大小与运输次数n及平均速度x(单位:km/h)有关(不考虑其他因素),W由两部分的和组成:一部分与x的平方成正比,另一部分与x的n倍成正比.试行中得到了表中的数据.次数n21速度x4060指数Q420100(1)用含x和n的代数式表示Q.3(2)当x=70,Q=450时,求n的值.(3)若n=3,要使Q最大,确定x的值.(4)设n=2,x=40,能否在n增加m%(m0)同时x减少m%的情况下,而Q的值仍为420?若能,求出m的值;若不能,请说明理由.参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(--).★5.通过实验研究,专家们发现:初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的,讲课开始时,学生的兴趣激增,中间有一段时间的兴趣保持平稳状态,随后开始分散.学生注意力指标数y随时间x(单位:min)变化的函数图象如图(y越大表示注意力越集中).当≤x≤时,图象是抛物线的一部分,当≤x≤和≤x≤时,图象是线段.(1)当≤x≤时,求注意力指标数y与时间x的函数解析式.(2)一道数学综合题需要讲解:24min.问老师能否经过适当安排,使学生听这道题时,注意力的指标数都不低于36?参考答案能力提升41.B把点(0,2.4),(12,0)代入解析式得c=2.4,b=-12a-0.2.故b-12a.又抛物线开口向下,故a0.由对称轴x=-0,故b0,即0b-12a,因此结论④正确.又144a+12b=-2.4,且b0,故144a-2.4.因此a-,结论①正确.结论③无法确定,故选B.2.解(1)根据题目条件,A,B,C的坐标分别是(-10,0),(10,0),(0,6).设抛物线的解析式为y=ax2+c,将B,C的坐标代入y=ax2+c,得{解得{-所以抛物线的解析式是y=-x2+6.(2)可设F(5,yF),于是yF=-×52+6=4.5.从而支柱EF的长度是10-4.5=5.5(m).(3)如图,设DN是隔离带的宽,NG是三辆车的宽度和,则点G坐标是(7,0).过点G作GH⊥AB交抛物线于H,则yH=-×72+6≈3.063.根据抛物线的特点,可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.3.分析此题考查了二次函数的实际应用问题.解此题的关键是根据题意构建二次函数模型,根据二次函数解题.(1)以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立平面直角坐标系,可设抛物线的函数解析式为y=ax2,又由点A在抛物线上,即可求得此抛物线的函数解析式;(2)延长AC,交建筑物造型所在抛物线于点D,连接BD交OC于点P,则点P即为所求;5(3)首先根据题意求得点B与点D的坐标,设直线BD的函数解析式为y=kx+b,利用待定系数法即可求得直线BD的函数解析式,把x=0代入求出的解析式,即可求得点P的坐标.解(1)以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立平面直角坐标系,如图,设抛物线的函数解析式为y=ax2,由题意知点A的坐标为(4,8).因为点A在抛物线上,所以8=42a,解得a=.所以所求抛物线的函数解析式为y=x2.(2)找法:延长AC,交建筑物造型所在抛物线于点D,则点A,D关于OC对称.连接BD交OC于点P,则点P即为所求.(3)由题意知,点B的横坐标为2,因为点B在抛物线上,所以点B的坐标为(2,2).又点A的坐标为(4,8),所以点D的坐标为(-4,8).设直线BD的函数解析式为y=kx+b,则{-解得k=-1,b=4.所以直线BD的函数解析式为y=-x+4,把x=0代入y=-x+4,得点P的坐标为(0,4),因此两根支柱用料最省时,点O,P之间的距离是4m.创新应用4.解(1)设W=k1x2+k2nx,则Q=k1x2+k2nx+100.由表中数据,得{解得{-因此Q=-x2+6nx+100.(2)由题意,得450=-×702+6×70n+100,解得n=2.(3)当n=3时,Q=-x2+18x+100.6由a=-0可知,要使Q最大,则x=-(-)=90.(4)由题意,得420=-[40(1-m%)]2+6×2(1+m%)×40(1-m%)+100,即2(m%)2-m%=0,解得m%=或m%=0(舍去).故m=50.5.解(1)根据题意,设当≤x≤时的抛物线为y=ax2+bx+20,把(5,39),(10,48)代入解析式,得{解得{-所以y=-x2+x+(≤x≤).(2)由图象知,当≤x≤时,y=-x+76.当≤x≤时,令y=36,得36=-x2+x+20,解得x1=4,x2=20(舍去).当≤x≤时,令y=36,得36=-x+76,解得x==28.因为28-4=2424,所以老师可以通过适当的安排,在学生的注意力指标数不低于36时,讲授完这道数学综合题.