2018-2019学年九年级数学上册 第二十二章 二次函数 小专题7 二次函数与几何图形综合习题 （

1小专题7二次函数与几何图形综合类型1线段相关问题1．(山西农业大学附中月考)如图，抛物线经过A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－52)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标．解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－52)三点在抛物线上，∴a－b＋c＝0，25a＋5b＋c＝0，c＝－52，解得a＝12，b＝－2，c＝－52.∴抛物线的解析式为y＝12x2－2x－52.(2)∵抛物线的解析式为y＝12x2－2x－52，∴其对称轴为直线x＝－b2a＝－－22×12＝2，连接BC，交抛物线对称轴于点P，P点即为所求点．∵B(5，0)，C(0，－52)，∴设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，∴5k＋b＝0，b＝－52，解得k＝12，b＝－52.∴直线BC的解析式为y＝12x－52，当x＝2时，y＝1－52＝－32.2∴P(2，－32)．类型2图形面积问题2．(阳泉市平定县月考)如图所示，二次函数y＝ax2－4x＋c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A(－4，0)．(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上存在点P，满足S△AOP＝8，请求出点P的坐标．解：(1)由已知条件，得c＝0，a×（－4）2－4×（－4）＋c＝0.解得a＝－1，c＝0.∴此二次函数的解析式为y＝－x2－4x.(2)∵点A的坐标为(－4，0)，∴AO＝4.设点P到x轴的距离为h，则S△AOP＝12×4h＝8.解得h＝4.①当点P在x轴上方时，－x2－4x＝4.解得x＝－2.∴点P的坐标为(－2，4)．②当点P在x轴下方时，－x2－4x＝－4.解得x1＝－2＋22，x2＝－2－22.∴点P的坐标为(－2＋22，－4)或(－2－22，－4)．综上所述，点P的坐标是(－2，4)，(－2＋22，－4)，(－2－22，－4)．33．(吕梁孝义市期末)综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3.抛物线W与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C，它的顶点为D，直线l经过A，C两点．(1)求点A，B，C，D的坐标；(2)将直线l向下平移m个单位，对应的直线为l′.①若直线l′与x轴的正半轴交于点E，与y轴的正半轴交于点F，△AEF的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；②求m的值为多少时，S的值最大？最大值为多少？(3)若将抛物线W也向下平移m个单位，再向右平移1个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点P落在△AOC的内部(不包括△AOC的边界)．请直接写出m的取值范围．解：(1)当y＝0时，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝－1.∴A，B两点坐标分别为(3，0)，(－1，0)．当x＝0时，得y＝3，∴点C坐标为(0，3)．∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴点D坐标为(1，4)．(2)①设直线l的解析式为y＝kx＋b，则有b＝3，3k＋b＝0，解得k＝－1，b＝3.∴直线l的解析式为y＝－x＋3.∴直线l′的解析式为y＝－x＋3－m.当y＝0时，解得x＝3－m，∴E点坐标为(3－m，0)．当x＝0时，解得y＝3－m，∴F点坐标为(0，3－m)．∴AE＝3－(3－m)＝m，OF＝3－m.4∴S＝12AE·OF＝12m(3－m)＝－12m2＋32m(0＜m＜3)．②∵S＝－12m2＋32m＝－12(m－32)2＋98，－120，∴当m＝32时，S的值最大，最大值为98.(3)3＜m＜4.类型3特殊图形相关问题4．(阳泉市平定县月考)综合与探究：如图，抛物线y＝ax2＋bx－3经过点A(2，－3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB.(1)求抛物线的解析式；(2)若点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标；(3)若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由y＝ax2＋bx－3得C(0，－3)，∴OC＝3，∵OC＝3OB，∴OB＝1.∴B(－1，0)．把A(2，－3)，B(－1，0)代入y＝ax2＋bx－3得4a＋2b－3＝－3，a－b－3＝0.解得a＝1，b＝－2.∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.(2)连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，如图1，∵A(2，－3)，C(0，－3)，∴AF∥x轴，∴F(－1，－3)．∴BF＝3，AF＝3，∴∠BAC＝45°.设D(0，m)，则OD＝|m|，∵∠BDO＝∠BAC，∴∠BDO＝45°，∴OD＝OB＝1，∴|m|＝1，∴m＝±1，∴D1(0，1)，D2(0，－1)．5(3)设M(a，a2－2a－3)，N(1，n)，①以AB为边，则AB∥MN，AB＝MN，如图2，过M作ME⊥对称轴于E，AF⊥x轴于F，则△ABF≌△NME(AAS)，∴NE＝AF＝3，ME＝BF＝3，∴|a－1|＝3，∴a＝4或a＝－2，∴M(4，5)或(－2，5)．②以AB为对角线，BN＝AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，∴M(0，－3)．综合上述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M(4，5)或(－2，5)或(0，－3)．