2018-2019学年九年级数学上册 第二十四章 圆 小专题11 与圆的基本性质有关的计算习题 （新

1小专题11与圆的基本性质有关的计算类型1求角度1．(哈尔滨中考)如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝42°，∠APD＝77°，则∠B的大小是(B)A．43°B．35°C．34°D．44°2．(兴安盟中考)如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝48°，D为⊙O上一点，则∠ADC的度数是(A)A．24°B．42°C．48°D．12°3．(广东中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的大小为(C)A．130°B．100°C．65°D．50°4．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，则∠CEB的度数为100°．5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，BA，DC的延长线交于点E，AB＝2CE，∠E＝25°，2则∠BOD＝75°．6．(山西中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为BD的中点．若∠A＝40°，则∠B＝70°__．7．(南京中考)如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE.若∠D＝78°，则∠EAC＝27°．类型2求长度8．如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP.若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长是25．9．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为213__．10．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为23cm.11．(十堰中考)如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的平分线交⊙O于点D.若AC3＝6，BD＝52，则BC的长为8．4小专题12教材P90习题T14的变式与应用【例】(人教版九年级上册教材第90页第14题)如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.判断△ABC的形状，并证明你的结论．解：△ABC为等边三角形．证明：∵∠APC＝∠ABC，∠CPB＝∠BAC，又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°.∴∠ACB＝60°.∴△ABC为等边三角形．【问题延伸1】求证：PA＋PB＝PC.证明：在PC上截取PD＝AP，连接AD，如图所示．∵∠APC＝60°，∴△APD是等边三角形．∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，∠ADC＝120°.∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB.在△APB和△ADC中，∠ABP＝∠ACD，∠APB＝∠ADC，AP＝AD，∴△APB≌△ADC(AAS)．∴BP＝CD.又∵PD＝AP，∴PA＋PB＝PC.5证明线段的和、差、倍、分问题的常见做法是“截长补短”法，具体做法是：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．【问题延伸2】若BC＝23，点P是AB︵上一动点(异于点A，B)，求PA＋PB的最大值．解：由上题知PA＋PB＝PC，要使PA＋PB最大，则PC为直径，作直径BG，连接CG.∴∠G＝∠BAC＝60°，∠BCG＝90°.∵BC＝23，∴BG＝4.即PA＋PB的最大值为4.直径是圆中最长的一条弦，在求最值的问题中经常用到这一结论．1．如图，四边形APBC是圆内接四边形，延长BP至E，若∠EPA＝∠CPA，判断△ABC的形状，并证明你的结论．解：△ABC是等腰三角形，理由：∵四边形APBC是圆内接四边形，∴∠EPA＝∠ACB.∵∠EPA＝∠CPA，∠CPA＝∠ABC，∴∠ACB＝∠ABC.∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是ACB︵的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E.若AE＝10，∠ACB＝60°，求BC的长．6解：∵D是ACB︵的中点，∴DA︵＝DB︵.∴DA＝DB.∵∠ACB＝60°，∠ACB与∠ADB是同弧所对的圆周角，∴∠ADB＝60°.∴△ADB是等边三角形．∴∠DAB＝∠DBA＝60°.∴∠DCB＝∠DAB＝60°.∵DE∥BC，∴∠E＝∠ACB＝60°.∴∠DCB＝∠E.∵∠ECD＝∠DBA＝60°，∴△ECD是等边三角形．∴ED＝CD.∵CD︵＝CD︵，∴∠EAD＝∠DBC.在△EAD和△CBD中，∠E＝∠DCB，∠EAD＝∠CBD，ED＝CD，∴△EAD≌△CBD(AAS)．∴BC＝EA＝10.3．如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，连接AB，BC，AC.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)若∠PAC＝90°，AB＝23，求PB的长．7解：(1)证明：∵∠ABC＝∠APC，∠BAC＝∠BPC，∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形．(2)∵∠PAC＝90°，∴PC是⊙O的直径，∴∠PBC＝90°.∵∠CPB＝60°，∴∠BCP＝30°.在Rt△PBC中，设PB＝x，则PC＝2x.∵BC＝AB＝23.由勾股定理，得PB2＋BC2＝PC2，即x2＋(23)2＝(2x)2，解得x＝2，∴PB＝2.4．(广州中考改编)如图，点A，B，C，D在同一个圆上，且C点为一动点(点C不在BAD︵上，且不与点B，D重合)，∠ACB＝∠ABD＝45°.(1)求证：BD是该圆的直径；(2)连接CD，求证：2AC＝BC＋CD.证明：(1)∵AB︵＝AB︵，∴∠ACB＝∠ADB＝45°.∵∠ABD＝45°，∴∠BAD＝90°.∴BD是该圆的直径．8(2)在CD的延长线上截取DE＝BC，连接EA，∵∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD.∵∠ADE＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE.在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，BC＝DE，∴△ABC≌△ADE(SAS)．∴∠BAC＝∠DAE.∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD.∴∠BAD＝∠CAE＝90°.∵AD︵＝AD︵，∴∠ACD＝∠ABD＝45°.∴△CAE是等腰直角三角形．∴2AC＝CE.∴2AC＝DE＋CD＝BC＋CD.5．(山西中考)请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al­Biruni(973～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al­Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦)，BCAB，M是ABC︵的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB＋BD.9图1图2下面是运用“截长法”证明CD＝AB＋BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG.∵M是ABC︵的中点．∴MA＝MC.……任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB＝2，D为⊙O上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD与点E，则△BDC的长是2＋22．图3解：证明：在△MBA和△MGC中，AB＝CG，∠A＝∠C，AM＝CM，∴△MBA≌△MGC(SAS)．∴MB＝MG.又∵MD⊥BC，∴BD＝GD.∴CD＝GC＋GD＝AB＋BD.