2018-2019学年九年级数学下册 第27章 圆 27.1 圆的认识 27.1.3 圆周角同步练习

127.1.3.圆周角知|识|目|标1．经历阅读、思考、推理、归纳等过程，得出直径或半圆所对的圆周角是直角，并能熟练应用．2．利用三角形外角的性质，探索出圆周角定理，并能运用圆周角定理及其推论进行计算．3．经历阅读、思考、归纳的过程，了解圆内接四边形及其性质，并能进行简单的应用．目标一知道半圆或直径所对的圆周角是直角例1教材补充例题(1)下列说法中，正确的个数是()①顶点在圆上的角是圆周角；②圆周角的顶点一定在圆上；③半圆所对的圆周角是直角；④直径所对的圆周角是90°；⑤圆周角都等于直角．A．1B．2C．3D．4(2)如图27－1－14，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC＝60°，则∠BAC的度数是()图27－1－14A．75°B．60°C．45°D．30°【归纳总结】如果题目条件中有直径，那么一般把直径所对的圆周角作出来．目标二能应用圆周角定理及其推论进行计算例2教材补充例题(1)如图27－1－15，A，B，C是⊙O上的三点，已知∠ACB＝50°，那么∠AOB的度数是()图27－1－15A．90°B．95°C．100°D．120°(2)如图27－1－16，已知AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点(点D不与点A，B重合)，若∠D＝40°，则∠CAB的度数为()图27－1－16A．20°B．40°C．50°D．70°2例3教材补充例题小敏用瓶盖描画出一个圆，她让肖颖找出此圆的圆心，肖颖利用自己的三角尺，放在圆上画出了两个三角形，如图27－1－17所示，她说AB和EF的交点就是圆心，请你说明理由．图27－1－17【归纳总结】1．圆周角定理及其推论中的转化思想：(1)弧是圆周角、圆心角的中介，通过弧可实现圆周角、圆心角之间的转化；(2)90°的圆周角和直径之间可以相互转化．2．圆周角定理及其推论中常用的辅助线：当题目中出现直径时，通常作出直径所对的圆周角，可得直角，然后结合直角三角形解决问题，即“见直径作直角”．目标三了解圆内接四边形及其性质例4教材补充例题如图27－1－18，四边形ABCD内接于⊙O.若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的度数为()图27－1－18A．45°B．50°C．60°D．75°例5如图27－1－19，已知四边形ABCD是正方形，且点A，B，C，D，P均在⊙O上，则∠APB的度数为________．图27－1－193【归纳总结】求圆中角的度数的方法：(1)圆内接四边形的对角互补，而且圆内接四边形的外角等于它的内对角；(2)同弧、等弧对等角，转化位置易求角．知识点一圆周角的概念顶点在______上，并且两边都与圆______的角叫做圆周角．(1)圆周角必须具备的两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都与圆相交．二者缺一不可．(2)圆心角与圆周角的相同点是角的两边都和圆相交，不同点是圆心角的顶点在圆心而圆周角的顶点在圆上．知识点二圆周角的性质(1)半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°(直角)．(2)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的__________相等，都等于该弧所对的圆心角的________；相等的圆周角所对的________相等．推论1：90°的圆周角所对的弦是________．推论2：圆内接四边形的对角________．[点拨]在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个圆周角中，有一组量相等，那么其余的各组量也对应相等．特别要注意“对应”两个字．若△ABC的三个顶点都在⊙O上，OD⊥BC于点D，∠BOD＝38°，求∠A的度数．图27－1－20解：如图27－1－20，连结OC，则OC＝OB.又∵OD⊥BC，∴∠COB＝2∠BOD，∴∠A＝12∠COB＝12×2∠BOD＝∠BOD＝38°.以上解题过程是否完整？如果不完整，请补充完整．4教师详解详析【目标突破】例1[答案](1)C(2)D[解析](1)主要考查圆周角的概念及半圆或直径所对的圆周角是直角．解答此类问题一定要抓住圆周角的两个条件：一是顶点在圆上，二是两边都与圆相交；半圆或直径所对的圆周角等于90°.②③④正确．(2)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.又∵∠OBC＝60°，∴∠BAC＝180°－∠ACB－∠ABC＝30°.例2[答案](1)C(2)C[解析](1)∵∠ACB与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角，∠ACB＝50°，∴∠AOB＝100°.(2)∵∠D＝40°，∴∠B＝∠D＝40°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°－40°＝50°.例3[解析]主要根据“90°的圆周角所对的弦是直径”“两条直径的交点就是圆心”解决问题．解：由题图可以看出，直角∠C的顶点在圆上，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”可知弦AB是此圆的一条直径，同理，弦EF也是此圆的一条直径，而两条直径的交点就是圆心，所以AB，EF的交点就是此圆的圆心．例4[解析]C设∠ADC＝α，∠ABC＝β.∵四边形ABCO是平行四边形，∴∠AOC＝∠ABC＝β，∴∠ADC＝12∠AOC＝12β，即α＝12β.而α＋β＝180°，∴α＋β＝180°，α＝12β，解得α＝60°，β＝120°.∴∠ADC＝60°.故选C.例5[答案]45°【总结反思】[小结]知识点一圆相交知识点二(2)圆周角一半弧直径互补[反思]不完整．补充：由题意知圆心O可能在△ABC内，也可能在△ABC外(如图)．当圆心O在△ABC内时，∠A＝38°；当圆心O在△ABC外时，如图，连结OC，在弦BC所对的优弧上5任取一点E，连结BE，CE.∵OB＝OC，OD⊥BC，∴∠BOC＝2∠BOD.∵∠BEC＝12∠BOC，∴∠BEC＝∠BOD＝38°，∴∠A＝180°－38°＝142°.因此，∠A的度数为38°或142°.