2018-2019学年九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 专题训练(一)求锐角三角函数值的

1专题训练(一)求锐角三角函数值的方法归类►方法一运用定义求锐角三角函数值1．2017·日照在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sinA的值为()A.513B.1213C.512D.1252．如图1－ZT－1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cosα的值是()A.34B.43C.35D.45图1－ZT－1►方法二巧设参数求锐角三角函数值3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝45，则tanB的值为()A.43B.34C.35D.454．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝52，那么cosA的值为()A.52B.53C.255D.235．如图1－ZT－2，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝35，BE＝2，则tan∠DBE的值是()图1－ZT－2A.12B．2C.52D.556．已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，且a，b，c满足b2＝(c＋a)(c－a)．若5b－4c＝0，求sinA＋sinB的值．7．如图1－ZT－3，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝12BD，连接AC，若tanB＝53，求tan∠CAD的值．2图1－ZT－3►方法三在网格中构造直角三角形求锐角三角函数值8．如图1－ZT－4，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA的值为()图1－ZT－4A.35B.45C.34D.439．如图1－ZT－5，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为()图1－ZT－5A.33B.55C.233D.25510．2017·宜昌△ABC在网格中的位置如图1－ZT－6所示(每个小正方形的边长均为1)，AD⊥BC于点D，下列四个选项中，错误的是()图1－ZT－6A．sinα＝cosαB．tanC＝2C．sinβ＝cosβD．tanα＝1►方法四利用等角求锐角三角函数值11．如图1－ZT－7，A为角α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值错误的是()图1－ZT－7A.BDBCB.BCABC.ADACD.CDAC312．如图1－ZT－8，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝12∠BAC，则tan∠BPC＝________．图1－ZT－8►方法五利用特殊角求锐角三角函数值13．如图1－ZT－9，在等边三角形ABC中，D是BC边上一点，连接AD并延长到点E，使AE＝AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，则tan∠AEO＝________．图1－ZT－914．如图1－ZT－10，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1∶2.4的斜坡AP行进了26米到达坡顶A处，在A处又测得该塔顶B的仰角为76°.求：(1)坡顶A到地面PQ的距离；(2)古塔BC的高度(结果精确到1米)．(参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01)图1－ZT－10►方法六利用同角三角函数的关系求锐角三角函数值同角三角函数之间有如下关系：对于锐角α，有sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sinαcosα.15．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝23，则sinB的值为()A.253B.53C.255D.55416．已知α为锐角，且cosα＝13，求tanα＋cosα1＋sinα的值．►方法七利用互余两角三角函数的关系求锐角三角函数值若∠A＋∠B＝90°，则sinA＝cosB，cosA＝sinB.对于锐角α，sinα随α的增大而增大，cosα随α的增大而减小，tanα随α的增大而增大．17．已知0°＜∠A＜90°，那么cos(90°－∠A)等于()A．cosAB．sin(90°＋∠A)C．sinAD．sin(90°－∠A)18．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝3，求cosB的值．19．在△ABC中．(1)若∠C＝90°，cosA＝1213，求sinB的值；(2)若∠A＝35°，∠B＝65°，试比较cosA与sinB的大小，并说明理由．5详解详析1．[解析]B在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝AB2－AC2＝12，∴sinA＝BCAB＝1213.故选B.2．[解析]D由勾股定理得OA＝32＋42＝5，所以cosα＝45.故选D.3．[解析]B设BC＝4x，则AB＝5x，AC＝AB2－BC2＝3x，∴tanB＝ACBC＝3x4x＝34.故选B.4．[解析]B由三角函数的定义，知cosA＝∠A的邻边斜边.又因为tanB＝52，所以可设AC＝5k，BC＝2k(k0)，由勾股定理，得AB＝3k，不难求出cosA＝ACAB＝5k3k＝53.故选B.5．[解析]B在Rt△ADE中，∵cosA＝AEAD＝35，∴设AE＝3x，则AD＝5x.由勾股定理可得DE＝AD2－AE2＝4x.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝5x，∴BE＝5x－3x＝2x＝2，∴x＝1，∴DE＝4.在Rt△DBE中，tan∠DBE＝DEBE＝42＝2.故选B.6．解：根据b2＝(c＋a)(c－a)，可得b2＝c2－a2，即a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形，且∠C＝90°.因为5b－4c＝0，所以设b＝4k(k0)，则c＝5k，根据勾股定理可得a＝3k，所以sinA＋sinB＝ac＋bc＝3k5k＋4k5k＝75.7．解：如图，过点D作DE∥AB交AC于点E.∵∠BAD＝90°，DE∥AB，∴∠ADE＝90°.∵tanB＝53，设AD＝5k，则AB＝3k.∵DE∥AB，∴DEAB＝CDBC＝13，∴DE＝13AB，∴tan∠CAD＝DEAD＝13×ABAD＝13×3k5k＝15.8．[解析]D在Rt△ABC中，∠A的对边BC＝4，∠A的邻边AB＝3，因此tanA＝BCAB＝43.故选D.9．[解析]D如图，过点B作AC边上的高BD，由勾股定理得AB＝32＋12＝10，AD6＝22＋22＝22，所以cosA＝ADAB＝2210＝255.故选D.10．[解析]C观察图象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD＝AD＝2，AB＝22，AD＝2，CD＝1，AC＝5，∴sinα＝cosα＝22，故A正确；tanC＝ADCD＝2，故B正确；tanα＝1，故D正确；∵sinβ＝CDAC＝55，cosβ＝ADAC＝255，∴sinβ≠cosβ，故C错误．故选C.11．[解析]C因为AC⊥BC，CD⊥AB，所以∠B＋∠BAC＝∠ACD＋∠BAC＝90°，所以∠B＝∠ACD＝α，即cosα＝BDBC＝BCAB＝CDAC，故选C.12．[答案]43[解析]过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝5，BC＝8，∴BD＝CD＝12BC＝4，∠BAD＝12∠BAC.在Rt△ABD中，AD＝AB2－BD2＝52－42＝3.∵∠BPC＝12∠BAC，∴tan∠BPC＝tan∠BAD＝BDAD＝43.13．[答案]3314．解：(1)如图，过点A作AH⊥PQ，垂足为H.∵斜坡AP的坡度为1∶2.4，∴AHPH＝512.设AH＝5k米，则PH＝12k米，由勾股定理，得AP＝13k米，∴13k＝26，解得k＝2.∴AH＝10米，PH＝24米．答：坡顶A到地面PQ的距离为10米．(2)如图，延长BC交PQ于点D.∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BD⊥PQ，∴四边形AHDC是矩形，∴CD＝AH＝10米，AC＝DH.∵∠BPD＝45°，∴PD＝BD.设BC＝x米，则x＋10＝24＋DH，7∴AC＝DH＝(x－14)米．在Rt△ABC中，tan76°＝BCAC，即xx－14＝tan76°，解得x≈19.答：古塔BC的高度约为19米．15．[解析]B∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝23，∴sinB＝1－（23）2＝53.故选B.16．解：∵cosα＝13，∴sinα＝1－（13）2＝223，tanα＝sinαcosα＝22313＝22，∴tanα＋cosα1＋sinα＝22＋131＋223＝22＋3－22＝3.17．[答案]C18．解：∵tanA＝3，∴∠A＝60°，sinA＝32.又∵∠A＋∠B＝90°，∴cosB＝sinA＝32.19．解：(1)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴sinB＝cosA＝1213.(2)cosA＜sinB.理由：∵cosA＝cos35°＝sin55°＜sin65°＝sinB，∴cosA＜sinB.