2018-2019学年九年级数学下册 第二十八章 锐角三角函数 28.2 解直角三角形及其应用 28

1课时作业(十九)[28.2.1解直角三角形]一、选择题1．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是()A．csinA＝aB．bcosB＝cC．atanA＝bD．ctanB＝b2．如图K－19－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝12，则BC的长是()图K－19－1A．2B．3C．4D．83．如图K－19－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是()图K－19－2A.433B．4C．83D．434．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝15，则∠A的度数为链接听课例1归纳总结()A．90°B．60°C．45°D．30°5．如图K－19－3，在△ABC中，cosB＝22，sinC＝35，AC＝5，则△ABC的面积是()图K－19－3A.212B．12C．14D．216.如图K－19－4，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，若BD是△ABC的角平分线，BD＝8，则△ABC的三边长分别是()2图K－19－4A．6，63，12B．23，6，43C．4，43，8D．43，12，837．如图K－19－5，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长为()图K－19－5A.65B.85C.75D.235二、填空题8．如图K－19－6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝158，则AB＝________．图K－19－69．如图K－19－7，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝23，则AB的长为________．图K－19－710．如图K－19－8，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，tan∠ACD＝34，AB＝5，那么CD的长是________．图K－19－8三、解答题11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件解直角三角形．(1)b＝10，∠A＝60°；(2)a＝25，b＝215.链接听课例1、例3归纳总结312．如图K－19－9，AD是△ABC的中线，tanB＝13，cosC＝22，AC＝2.求：(1)BC的长；(2)sin∠ADC的值．图K－19－913．如图K－19－10，在△ABC中，D是BC上的一点，且∠DAC＝30°，过点D作DE⊥AD交AC于点E，AE＝4，EC＝2.(1)求证：AD＝CD；(2)若tanB＝3，求线段AB的长．图K－19－1014．如图K－19－11，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝18.(1)求BC的长；(2)利用此图形求tan15°的值(精确到0.1，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，5≈2.2)．图K－19－114阅读理解我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？如图K－19－12，在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠ACB所对的边分别为a，b，c，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ADC中，CD＝bsinA，AD＝bcosA，∴BD＝c－bcosA.在Rt△BDC中，由勾股定理，得CD2＋BD2＝BC2，即(bsinA)2＋(c－bcosA)2＝a2，整理，得a2＝b2＋c2－2bccosA.同理可得b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.(注：上述三个公式对直角三角形和钝角三角形也成立，推理过程同上)利用上述结论解答下列问题：(1)在△ABC中，∠A＝45°，b＝22，c＝2，求a的长和∠C的度数；(2)在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝45°，c＞a＞b，求c的长．图K－19－125详解详析[课堂达标]1．A2.A3．[解析]D∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，cosB＝BCAB，即cos30°＝BC8，∴BC＝8×32＝43.4．D5．[解析]A如图，过点A作AD⊥BC，∵在△ABC中，cosB＝22，∴∠B＝45°，BD＝AD.∵sinC＝35，AC＝5，∴sinC＝35＝ADAC＝AD5，∴AD＝3，∴CD＝4，BD＝3，则△ABC的面积是12·AD·BC＝12×3×(3＋4)＝212.6．[解析]D∵∠A＝30°，∴∠ABC＝60°.∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD＝30°.解Rt△BCD，Rt△ABC，即可得△ABC的三边长．7．[解析]B如图，连接BD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵OC∥AD，∴∠A＝∠BOC，∴cosA＝cos∠BOC.∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，∴cos∠BOC＝OBOC＝25，6∴cosA＝cos∠BOC＝25.又∵cosA＝ADAB，AB＝4，∴AD＝85.故选B.8．[答案]17[解析]∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝158，BC＝15，∴15AC＝158，解得AC＝8，根据勾股定理，得AB＝AC2＋BC2＝82＋152＝17.故答案为17.9．[答案]3＋3[解析]过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ACD中，AC＝23，∠A＝30°，∴CD＝AC·sinA＝3，AD＝AC2－CD2＝3.在Rt△BCD中，CD＝3，∠B＝45°，∴BD＝CD＝3，∴AB＝AD＋BD＝3＋3.10．[答案]125[解析]∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD＋∠BCD＝∠BCD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵tan∠ACD＝34，∴tanB＝ACBC＝34.设AC＝3x，BC＝4x.∵AC2＋BC2＝AB2，∴(3x)2＋(4x)2＝52，解得x＝1，∴AC＝3，BC＝4.∵S△ABC＝12AB·CD＝12AC·BC，∴CD＝AC·BCAB＝125.11．解：(1)∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.∵cosA＝bc，∴c＝bcosA＝10cos60°＝1012＝20，∴a＝c2－b2＝202－102＝103.(2)c＝a2＋b2＝（25）2＋（215）2＝45.∵tanA＝ab＝25215＝33，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.12．[解析](1)过点A作AE⊥BC于点E，根据cosC＝22，求出∠C＝45°，求出AE＝CE＝1，根据tanB＝13，求出BE的长；(2)根据AD是△ABC的中线，求出BD的长，得到DE的长，进而求得sin∠ADC的值．解：(1)如图，过点A作AE⊥BC于点E.7∵cosC＝22，∴∠C＝45°.在Rt△ACE中，CE＝AC·cosC＝2×22＝1，∴AE＝CE＝1.在Rt△ABE中，tanB＝13，即AEBE＝13，∴BE＝3AE＝3，∴BC＝BE＋CE＝4.(2)∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD＝2，∴DE＝CD－CE＝1.∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，∴sin∠ADC＝22.13．解：(1)证明：∵DE⊥AD，∴∠ADE＝90°.在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，AE＝4，∴∠DEA＝60°，DE＝12AE＝2.又∵EC＝2，∴DE＝EC，∴∠EDC＝∠C.又∵∠EDC＋∠C＝∠DEA＝60°，∴∠C＝30°＝∠DAE，∴AD＝CD.(2)如图，过点A作AF⊥BC于点F，则∠AFC＝∠AFB＝90°.∵AE＝4，EC＝2，∴AC＝6.在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，∠C＝30°，8∴AF＝12AC＝3.在Rt△AFB中，∠AFB＝90°，tanB＝3，∴BF＝AFtanB＝1，∴AB＝AF2＋BF2＝10.14．解：(1)过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图①所示．在Rt△ADC中，AC＝4.∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝12AC＝2，CD＝AC·cos30°＝4×32＝23.在Rt△ABD中，tanB＝ADBD＝2BD＝18，∴BD＝16，∴BC＝BD－CD＝16－23.(2)在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，如图②所示．∵∠ACB＝150°，∴∠AMC＝∠MAC＝15°，tan15°＝tan∠AMD＝ADMD＝24＋23＝12＋3≈12＋1.7≈0.3.[素养提升][解析](1)根据给出的公式，把已知条件代入计算，求出a的长，根据勾股定理的逆定理证明直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到答案；(2)把数据代入相应的公式，得到关于c的一元二次方程，解方程即可得到答案．解：(1)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA＝(22)2＋22－2×22×2×22＝4，解得a＝2.∵22＋22＝(22)2，即a2＋c2＝b2，∴△ABC为直角三角形．又∵a＝c＝2，∴∠C＝45°.(2)∵b2＝a2＋c2－2accosB，a＝3，b＝2，cosB＝cos45°＝22，∴c2－6c＋1＝0，解得c＝6±22.∵c＞a＞b，∴c＝6＋22.