2018-2019学年度九年级数学下册 第5章 二次函数 5.4 二次函数与一元二次方程 5.4.2

1第2课时用逼近法求一元二次方程的近似解知|识|目|标通过观察二次函数图像与x轴的交点坐标，能估算一元二次方程的近似根．目标会用逼近法判断一元二次方程的近似根例1教材练习针对训练小明在学习了利用图像法求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在平面直角坐标系中作出二次函数y＝x2＋2x－10的图像，由图像可知，方程x2＋2x－10＝0有两个根，一个在－5和－4之间，另一个在2和3之间．利用计算器进行探索，得到下表，则方程的一个近似根是()x－4.1－4.2－4.3－4.4y－1.39－0.76－0.110.56A．x≈－4.1B．x≈－4.2C．x≈－4.3D．x≈－4.4例2教材补充例题利用二次函数的图像求一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的实数根(结果精确到0.1)．知识点用逼近法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似解[点拨]由函数图像我们发现一元二次方程的根两边的自变量对应的函数值的符号恰好相反，由此得到函数值相反的两个自变量之间一定含有一元二次方程的根．2用图像法解一元二次方程体现了数形结合的思想方法．我们从中可以发现二次函数与一元二次方程之间的联系，一方面，我们可以利用二次函数的图像求一元二次方程的根；另一方面，也可以借助求一元二次方程的根来判断图像的位置，使所画的抛物线比较准确．那么如何运用二次函数的图像求关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根呢？3详解详析【目标突破】例1[解析]C在x由－4.1向－4.3变化的过程中y值一直在增大，并越来越接近0，当x＝－4.4时，y值大于0，则方程的一个根在－4.3和－4.4之间．因为x＝－4.3时的y值比x＝－4.4时的y值更接近0，所以方程的一个近似根为x≈－4.3.故选C.例2[解析]对于y＝－x2＋2x－3，当函数值为－8时，对应点的横坐标即为一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的实数根，故可通过作出函数图像来求方程的实数根．解：在平面直角坐标系内作出函数y＝－x2＋2x－3的图像，如图所示．由图像可知方程－x2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x2＋2x－3与直线y＝－8的交点的横坐标，左边的交点的横坐标在－2与－1之间，右边的交点的横坐标在3与4之间．(1)先求出－1与－2之间的根，利用计算器进行探索：x－1.1－1.2－1.3－1.4－1.5y－6.41－6.84－7.29－7.76－8.25因此x≈－1.4是方程－x2＋2x－3＝－8的一个实数根．(2)另一个根可以类似地求出：x3.13.23.33.43.5y－6.41－6.84－7.29－7.76－8.25因此x≈3.4是方程－x2＋2x－3＝－8的另一个实数根．故一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的实数根为x1≈－1.4，x2≈3.4.【总结反思】知识点中点[小结][反思]有以下几种方法：方法一：直接作二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像，则图像与x轴交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根．方法二：先将一元二次方程变形为ax2＋bx＝－c，再分别作抛物线y＝ax2＋bx和直线y4＝－c，则直线y＝－c与抛物线y＝ax2＋bx的交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．方法三：先将方程变形为ax2＝－bx－c，再分别作抛物线y＝ax2和直线y＝－bx－c，则两图像交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．