2018-2019学年高中数学 模块综合检测（含解析）北师大版选修2-2

1模块综合检测（时间120分钟满分150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋i，则z1z2在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第三象限C．第二象限D．第四象限解析：选Dz1z2＝2＋i1＋i＝32－i2，对应点32，－12在第四象限．2．函数y＝(sinx2)3的导数是()A．y′＝3xsinx2·sin2x2B.y′＝3(sinx2)2C．y′＝3(sinx2)2cosx2D．y′＝6sinx2cosx2解析：选Ay′＝[(sinx2)3]′＝3(sinx2)2·(sinx2)′＝3(sinx2)2·cosx2·2x＝3×2sinx2·cosx2·x·sinx2＝3x·sinx2·sin2x2，故选A.3．复数a＋i1－i为纯虚数，则它的共轭复数是()A．2iB.－2iC．iD．－i解析：选D∵复数a＋i1－i＝a＋＋－＋＝a－1＋＋a2为纯虚数，∴a－12＝0，1＋a2≠0，解得a＝1.∴a＋i1－i＝i，则它的共轭复数是－i.4.02π|sinx|dx＝()A．0B.1C．2D．4解析：选D02π|sinx|dx＝0πsinxdx＋π2π(－sinx)dx＝－cosx0π＋cosx0＝1＋1＋1＋1＝4.5．已知x10，x1≠1，且xn＋1＝xnx2n＋3x2n＋1(n∈N＋)，试证“数列{xn}对任意正整数n都满足xnxn＋1，或者对任意正整数n都满足xnxn＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为()A．对任意的正整数n，都有xn＝xn＋12B．存在正整数n，使xnxn＋1C．存在正整数n(n≥2)，使xn≥xn＋1且xn≤xn－1D．存在正整数n(n≥2)，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0解析：选D命题的结论是等价于“数列{xn}是递增数列或是递减数列”，其反设是“数列既不是递增数列，也不是递减数列”，由此可知选D.6．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝()A．192B.202C．212D．222解析：选C归纳得13＋23＋33＋43＋53＋63＝()1＋2＋…＋62＝212.7．设m＝01exdx，n＝011xdx，则m与n的大小关系为()A．m＜nB.m≤nC．m＞nD．m≥n解析：选Cm＝01exdx＝ex10＝e－1＞n＝1e1xdx＝lnxe1＝1.8.函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图像如图，则函数y＝ax2＋32bx＋c3的单调递增区间是()A．(－∞，－2]B.12，＋∞C．[－2,3]D.98，＋∞解析：选D由题图可知d＝0.不妨取a＝1，∵f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由图可知f′(－2)＝0，f′(3)＝0，∴12－4b＋c＝0,27＋6b＋c＝0，∴b＝－32，c＝－18.∴y＝x2－94x－6，y′＝2x－94.当x＞98时，y′＞0，∴y＝x2－94x－6的单调递增区间为98，＋∞.故选D.9．设曲线y＝sinx上任一点(x，y)处切线的斜率为g(x)，则函数y＝x2g(x)的部分图像可以为()解析：选C根据题意得g(x)＝cosx，∴y＝x2g(x)＝x2cosx为偶函数．又x＝0时，3y＝0，故选C.10．设函数f(x)在R上可导，f(x)＝x2f′(2)－3x，则f(－1)与f(1)的大小关系是()A．f(－1)＝f(1)B.f(－1)f(1)C．f(－1)f(1)D．不确定解析：选B因为f(x)＝x2f′(2)－3x，所以f′(x)＝2xf′(2)－3，则f′(2)＝4f′(2)－3，解得f′(2)＝1，所以f(x)＝x2－3x，所以f(1)＝－2，f(－1)＝4，故f(－1)f(1).11．若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0)B.(－∞，4]C．(0，＋∞)D．[4，＋∞)解析：选B由2xlnx≥－x2＋ax－3，得a≤2lnx＋x＋3x，设h(x)＝2lnx＋x＋3x(x＞0)，则h′(x)＝x＋x－x2.当x∈(0,1)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.故a的取值范围是(－∞，4]．12．定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)＞f(x)恒成立，若x1＜x2，则ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系为()A．ex1f(x2)＞ex2f(x1)B．ex1f(x2)＜ex2(x1)C．ex1f(x2)＝ex2f(x1)D．ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系不确定解析：选A设g(x)＝fxex，则g′(x)＝fxx－fxxx2＝fx－fxex，由题意g′(x)＞0，所以g(x)单调递增，当x1＜x2时，g(x1)＜g(x2)，即fx1ex1＜fx2ex2，所以ex1f(x2)＞ex2f(x1)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．复数z满足(1＋i)z＝|3－i|，则z－＝________.解析：∵(1＋i)z＝|3－i|＝2，∴z＝21＋i＝－2＝1－i，∴z－＝1＋i.答案：1＋i14．已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若4f′(1)＝3，则a的值为________．解析：f′(x)＝alnx＋x·1x＝a(1＋lnx)．由于f′(1)＝a(1＋ln1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.答案：315．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2，则该商品零售价定为______元时利润最大，利润的最大值为______元．解析：设商场销售该商品所获利润为y元，则y＝(p－20)(8300－170p－p2)＝－p3－150p2＋11700p－166000(p≥20)，则y′＝－3p2－300p＋11700.令y′＝0得p2＋100p－3900＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．则p，y，y′变化关系如下表：p(20,30)30(30，＋∞)y′＋0－y极大值故当p＝30时，y取极大值为23000元．又y＝－p3－150p2＋11700p－166000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23000元．答案：302300016．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2018个梯形数为a2018，则a2018＝________.解析：5＝2＋3＝a1,9＝2＋3＋4＝a2,14＝2＋3＋4＋5＝a3，…，an＝2＋3＋…＋(n＋2)＝n＋＋n＋2＝12(n＋1)(n＋4)，由此可得a2018＝2＋3＋4＋…＋2020＝12×2019×2022＝2019×1011.答案：2019×10115三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知复数z＝－2＋＋2－i.(1)若复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，求z1；(2)若实数a，b满足z2＋az＋b＝1－i，求z2＝a＋bi的共轭复数．解：由已知得复数z＝－2＋＋2－i＝－2i＋3＋3i2－i＝3＋i2－i＝＋＋－＋＝5＋5i5＝1＋i.(1)复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，则它们实部互为相反数，虚部相等，所以z1＝－1＋i.(2)因为z2＋az＋b＝1－i，所以(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，因为a，b∈R，所以a＋b＝1，且2＋a＝－1，解得a＝－3，b＝4，所以复数z2＝－3＋4i，所以z2的共轭复数为－3－4i.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex＋2(x2－3)．(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数y＝f(x)的极值．解：(1)函数f(x)＝ex＋2(x2－3)，则f′(x)＝ex＋2(x2＋2x－3)＝ex＋2(x＋3)(x－1)，故f′(0)＝－3e2，又f(0)＝－3e2，故曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＋3e2＝－3e2(x－0)，即3e2x＋y＋3e2＝0.(2)令f′(x)＝0，可得x＝1或x＝－3，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴当x＝－3时，函数取极大值，极大值为f(－3)＝6e，当x＝1时，函数取极小值，极小值为f(1)＝－2e3.619．(本小题满分12分)设函数f(x)＝1x＋2，a，b∈(0，＋∞)．(1)用分析法证明：fab＋fba≤23；(2)设a＋b4，求证：af(b)，bf(a)中至少有一个大于12.证明：(1)要证明fab＋fba≤23，只需证明1ab＋2＋1ba＋2≤23，只需证明ba＋2b＋ab＋2a≤23，即证b2＋4ab＋a22a2＋5ab＋2b2≤23，即证3b2＋12ab＋3a2≤4a2＋10ab＋4b2.即证(a－b)2≥0，这显然成立，∴fab＋fba≤23.(2)假设af(b)，bf(a)都小于或等于12，即ab＋2≤12，ba＋2≤12，∴2a≤b＋2,2b≤a＋2，两式相加得a＋b≤4，这与a＋b4矛盾，∴af(b)，bf(a)中至少有一个大于12.20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－mlnx，h(x)＝x2－x＋a.(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．解：(1)由f(x)≥h(x)，得m≤xlnx在(1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝xlnx，则g′(x)＝lnx－1x2，当x∈(1，e)时，g′(x)＜0；当x∈(e，＋∞)时，g′(x)＞0，所以g(x)在(1，e)上递减，在(e，＋∞)上递增．故当x＝e时，g(x)的最小值为g(e)＝e.7所以m≤e.即m的取值范围是(－∞，e]．(2)由已知可得k(x)＝x－2lnx－a.函数k(x)在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)＝x－2lnx与直线y＝a有两个不同的交点．φ′(x)＝1－2x＝x－2x，当x∈(1,2)时，φ′(x)＜0，φ(x)递减，当x∈(2,3)时，φ′(x)＞0，φ(x)递增．又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln2，φ(3)＝3－2ln3，要使直线y＝a与函数φ(x)＝x－2lnx有两个交点，则2－2ln2＜a＜3－2ln3.即实数a的取值范围是(2－2ln2,3－2ln3)．21．(本小题满分12分)函数f(x)＝x3－x2－x＋m(m∈R)．(1)求f(x)的极值；(2)当m在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与直线y＝1有三个不同的交点．解：(1)f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，得x＝－13或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－∞，－13－13－13，11(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)527＋mm－1所以当x＝－13时，