2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 第3节 三角函数的诱导公式（第2课时）诱导公式五、

1课下能力提升(七)[学业水平达标练]题组1化简求值1．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是()A．cos(A＋B)＝cosCB．sin(A＋B)＝－sinCC．cosA2＋C＝sinBD．sinB＋C2＝cosA2解析：选D∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C.∴cos(A＋B)＝－cosC，sin(A＋B)＝sinC．∴A，B都不正确．同理，B＋C＝π－A，∴sinB＋C2＝sinπ2－A2＝cosA2.故选D.2．化简：sin(－α－7π)·cosα－3π2＝________.解析：原式＝－sin(7π＋α)·cos3π2－α＝－sin(π＋α)·－cosπ2－α＝sinα·(－sinα)＝－sin2α.答案：－sin2α3．化简：1tan2－α＋1sinπ2－α·cosα－3π2·tan＋α.解：∵tan(－α)＝－tanα，sinπ2－α＝cosα，cosα－3π2＝cos3π2－α＝－sinα，tan(π＋α)＝tanα，∴原式＝1tan2α＋1cosα·－sinα·tanα＝1sin2αcos2α＋1－sin2α＝cos2α－1sin2α＝－sin2αsin2α＝－1.题组2条件求值问题4．已知tanθ＝2，则sinπ2＋θ－－θsinπ2－θ－－θ等于()2A．2B．－2C．0D.23解析：选B原式＝cosθ＋cosθcosθ－sinθ＝2cosθcosθ－sinθ＝21－tanθ＝－2.5．已知sin(π＋α)＝12，则cosα－3π2的值为()A.12B．－12C.32D．－22解析：选A由sin(π＋α)＝12得sinα＝－12，所以cosα－3π2＝cos3π2－α＝－sinα＝12，故选A.6．已知sinα－π4＝13，则cosπ4＋α的值为()A.223B．－223C.13D．－13解析：选D∵π4＋α－α－π4＝π2，∴cosπ4＋α＝sinπ2－π4＋α＝sinπ4－α＝－sinα－π4＝－13.7．已知α是第三象限角，且cos(85°＋α)＝45，则sin(α－95°)＝________.解析：由α是第三象限角，cos(85°＋α)＝45＞0，知85°＋α是第四象限角，∴sin(85°＋α)＝－35，sin(α－95°)＝sin[(85°＋α)－180°]＝－sin[180°－(85°＋α)]＝－sin(85°＋α)＝35.答案：358．已知sinα是方程3x2－10x－8＝0的根，且α为第三象限角，求3sinα＋3π2·sin3π2－α·tan2－α－αcosπ2－α·cosπ2＋α的值．解：∵方程3x2－10x－8＝0的两根为x1＝4或x2＝－23，又∵－1≤sinα≤1，∴sinα＝－23.又∵α为第三象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－53，tanα＝255.∴原式＝－cosα－cosα2α－tanαsinα－sinα＝tanα＝255.题组3三角恒等式的证明9．求证：－α3π2－α－α－αα＋3π2cosα＋3π2＝1.证明：左边＝－α－cosπ2－α－α－tanα－sinπ2＋α－cosπ2＋α＝－tanα－sinαα－tanα－cosαα＝1＝右边．∴原式成立．10．求证：－θcosθsin3π2－θ－1＋－θ＋θπ2＋θ－sin3π2＋θ＝2sin2θ.证明：左边＝－cosθcosθ－cosθ－＋cosθ－cosθcosθ＋cosθ＝11＋cosθ＋11－cosθ＝1－cosθ＋1＋cosθ＋cosθ－cosθ＝21－cos2θ＝2sin2θ＝右边．∴原式成立．[能力提升综合练]1．如果cos(π＋A)＝－12，那么sinπ2＋A等于()A．－12B.124C．－32D.32解析：选Bcos(π＋A)＝－cosA＝－12，∴cosA＝12，∴sinπ2＋A＝cosA＝12.2．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝()A．89B．90C.892D．45解析：选C∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，…，∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos23°＋cos22°＋cos21°＝44＋12＝892.3．已知sin(75°＋α)＝13，则cos(15°－α)的值为()A．－13B.13C．－223D.223解析：选B∵(75°＋α)＋(15°－α)＝90°，∴cos(15°－α)＝cos[90°－(75°＋α)]＝sin(75°＋α)＝13.4．在△ABC中，下列各表达式为常数的是()A．sin(A＋B)＋sinCB．cos(B＋C)－cosAC．sin2A＋B2＋sin2C2D．sinA＋B2sinC2解析：选Csin2A＋B2＋sin2C2＝sin2π－C2＋sin2C2＝cos2C2＋sin2C2＝1.5．已知函数f(x)＝2cosx－π12，若cosθ＝35，θ∈3π2，2π，则fθ－5π12＝____________.解析：fθ－5π12＝2cosθ－5π12－π12＝2cosθ－π2＝2cosπ2－θ＝2sinθ.由已知可得θ为第四象限角，所以sinθ0，故sinθ＝－1－cos2θ＝－45，fθ－5π125＝2sinθ＝2×－45＝－425.答案：－4256．已知tan()3π＋α＝2，则α－＋－α＋sinπ2－α－2cosπ2＋α－－α＋＋α＝________.解析：由tan(3π＋α)＝2，得tanα＝2，则原式＝α－－cosα＋cosα＋2sinαsinα－cosα＝－sinα＋2sinαsinα－cosα＝sinαsinα－cosα＝tanαtanα－1＝22－1＝2.答案：27．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，求sin－α－3π2cos3π2－αcosπ2－αsinπ2＋α·tan2(π－α)的值．解：原式＝－sinπ＋π2＋αcosπ＋π2－αsinαcosα·tan2α＝－sinπ2＋αcosπ2－αsinαcosα·tan2α＝－cosαsinαsinαcosα·tan2α＝－tan2α.方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－35，x2＝2，又α是第三象限角，∴sinα＝－35，cosα＝－45，∴tanα＝34，故原式＝－tan2α＝－916.8．是否存在角α，β，α∈－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝26cosπ2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在角α，β满足条件，则sinα＝2sinβ，①3cosα＝2cosβ，②由①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2.∴sin2α＝12，∴sinα＝±22.∵α∈－π2，π2，∴α＝±π4.当α＝π4时，cosβ＝32，∵0＜β＜π，∴β＝π6；当α＝－π4时，cosβ＝32，∵0＜β＜π，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去．∴存在α＝π4，β＝π6满足条件．7