2018-2019学年高中数学 第一章 坐标系 1.1.1 平面直角坐标系与曲线方程课件 北师大版选

-1-第一章坐标系-2-§1平面直角坐标系-3-1.1平面直角坐标系与曲线方程首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习课程目标学习脉络1.了解曲线和方程的对应关系,掌握两曲线交点的求法.2.能利用已知条件求出曲线的方程.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1.平面直角坐标系(1)在平面内两条互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系,如图所示.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习在平面直角坐标系中,对于任意一点,都有唯一的有序实数对(x,y)与之对应;反之,对于任意的一个有序实数对(x,y),都有唯一的点与之对应.即在平面直角坐标系中,点和有序实数对是一一对应的.曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹,由此我们可借助坐标系,研究曲线与方程间的关系.如上图,有序实数对(x,y)与点P相对应,这时(x,y)称作点P的坐标,并记为P(x,y),其中,x称为点P的横坐标,y称为点P的纵坐标.(2)曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹,由此我们可借助坐标系,研究曲线与方程间的关系.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习自主思考1建立直角坐标系有什么作用?提示:坐标系是现代数学中的重要内容,它在数学发展的历史上,起过划时代的作用.坐标系的创建,在代数和几何之间架起了一座桥梁.利用坐标系,我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置,也可以方便地确定空间内一个点的位置.它使几何概念得以用代数的方法来描述,几何图形可以通过代数形式来表达,这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来,又可将先进的代数方法应用于几何学的研究.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习2.曲线与方程在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系:(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解;(2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.那么,方程f(x,y)=0叫作曲线C的方程,曲线C叫作方程f(x,y)=0的曲线.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习自主思考2在求曲线方程时,建立不同的直角坐标系,可求得不同的轨迹方程,你认为建立直角坐标系时应注意些什么?提示:(1)当题目中有两条互相垂直的直线时,一般以这两条直线为坐标轴,建立平面直角坐标系;(2)当题目中有对称图形时,一般以对称图形的对称轴为坐标轴,建立平面直角坐标系;(3)当题目中有已知长度的线段,以线段所在的直线为x轴,以端点或中点为原点时,通常建立平面直角坐标系.在建立平面直角坐标系时,应使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究一利用坐标系解决平面几何的证明题平面几何问题以平面几何图形为载体.若将几何图形适当地放置在坐标系中,则可以将几何问题代数化,从而拓宽了解题思路.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四【典型例题1】已知M为等腰△ABC底边BC上的任意一点,求证:|AB|2=|AM|2+|BM|·|MC|.思路分析:建立适当的坐标系,借助于坐标证明.解:取BC的中点O为坐标原点,OA所在直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,设A,B的坐标分别为(0,b),(-a,0),则C点的坐标为(a,0),从而|AB|2=a2+b2.令M的坐标为(x,0),则|AM|2+|BM|·|MC|=x2+b2+(a+x)(a-x)=x2+b2+a2-x2=a2+b2,∴|AB|2=|AM|2+|BM|·|MC|.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四点评当题设中有中点、中垂线、角平分线等特定点或线时,常将它们选来作直角坐标系的原点或轴,适当建立坐标系可使点的坐标或曲线的方程简单、易求,或便于化简、运算与证明.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究二利用坐标系解决实际问题利用坐标系求解实际问题的关键是如何建立直角坐标系,将几何位置量化,通过有关距离的知识解决.【典型例题2】已知B村位于A村的正西方向1千米处,原计划经过B村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线m,但A村的西北方向400米处,发现一古代文物遗址W.根据初步勘察的结果,文物管理部门将遗址W周围100米范围划为禁区.试问,埋设地下管线m的计划需要修改吗?思路分析:解决这一问题的关键,在于确定遗址W与地下管线m的相对位置,如图,以A为原点,正东方向和正北方向分别为x轴和y轴的正方向,建立平面直角坐标系,只要求出点W与直线m的距离,则问题即可解决.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(-1000,0),由W位于A的西北方向及|AW|=400,得W(-2002,2002).由直线m过B点且倾斜角为90°-60°=30°,得直线m的方程是x-3y+1000=0.于是,点W到直线m的距离为|-2002-3×2002+1000|2=100×(5-2−6)≈113.6100.所以,埋设地下管线m的计划可以不修改.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究三求曲线的轨迹方程求曲线方程一般有下列五个步骤:(1)建立适当的直角坐标系,并用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标.在建立坐标系时,应充分考虑平行、垂直、对称等几何因素,使得解题更加简化;(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)};(3)用坐标表示条件P(M),写出方程f(x,y)=0;(4)化简方程f(x,y)=0(必须是等价变形);(5)证明以(4)中方程的解为坐标的点都在曲线上.一般地,方程的变形过程是等价的,则步骤(5)可以省略.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四【典型例题3】如图,在以点O为圆心,|AB|=4为直径的半圆ADB中OD⊥AB,P是半圆弧上一点,∠POB=30°,曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹,且曲线C过点P.建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程.思路分析:由曲线C上的点M满足的条件可以判断出曲线的类型是双曲线,从而可以用待定系数法来求其方程.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:以O为原点,AB,OD所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0),D(0,2),P(3,1),依题意得||MA|-|MB||=|PA|-|PB|=(2+3)2+12−(2-3)2+12=22|AB|=4.∴曲线C是以原点为中心,A,B为焦点的双曲线.设实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c,则c=2,2a=22,∴a2=2,b2=c2-a2=2.∴曲线C的方程为𝑥22−𝑦22=1.点评坐标系不同,曲线的方程不同.故只有建立起恰当的坐标系,最后求出的曲线方程才会最简.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究四易错辨析易错点求动点轨迹方程时,因忽视轨迹范围致误【典型例题4】如图,过定点M(2,0)作直线l与圆x2+y2=1相交于A,B两点,求线段AB的中点P的轨迹方程.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四错解:设P(x,y),连接OP,则由OP⊥AB,得OP2+PM2=OM2,即x2+y2+(x-2)2+y2=4,即(x-1)2+y2=1.故点P的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.错因分析:未考虑动点P在圆x2+y2=1内这一隐含条件,扩大了动点轨迹范围.正确解答:解法同上.因为动点P在圆x2+y2=1内,所以动点P的轨迹是圆(x-1)2+y2=1夹在圆x2+y2=1内的一段弧.故点P的轨迹方程为(x-1)2+y2=10≤𝑥12.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123451.已知平面上两定点A,B,且A(-1,0),B(1,0),动点P与两定点连线的斜率之积为-1,则动点P的轨迹是()A.直线B.圆的一部分C.椭圆的一部分D.双曲线的一部分解析:设点P的坐标为(x,y),因为kPA·kPB=-1,所以𝑦𝑥+1·𝑦𝑥-1=-1,整理得x2+y2=1(x≠±1).答案:BSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123452.已知平面内三点A(2,2),B(1,3),C(7,x),且满足𝐵𝐴⊥𝐴𝐶,则x的值为()A.3B.6C.7D.9解析:𝐵𝐴=(1,-1),𝐴𝐶=(5,x-2).∵𝐵𝐴⊥𝐴𝐶,∴𝐵𝐴·𝐴𝐶=5-(x-2)=0.∴x=7.答案:CSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123453.在平面直角坐标系中,A为平面内的一个动点,点B坐标为(2,0).若𝑂𝐴·𝐵𝐴=|𝑂𝐵|(O为坐标原点),则动点A的轨迹为.解析:设A(x,y),则𝑂𝐴=(x,y),𝐵𝐴=(x-2,y),|𝑂𝐵|=22+0=2.代入已知条件得x(x-2)+y2=2.即(x-1)2+y2=3,表示一个圆.答案:圆SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123454.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,AB上的中线,则BE与CF的位置关系是.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点12345解析:如图,以△ABC的顶点A为原点O,边AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(c,0),F𝑐2,0.设C(x,y),则E𝑥2,𝑦2,∴kBE=-𝑦2𝑐-𝑥,kCF=2𝑦2𝑥-𝑐.由b2+c2=5a2,得|AC|2+|AB|2=5|BC|2,即x2+y2+c2=5[(x-c)2+y2],整理得2y2=(2x-c)(2c-x),∴kBE·kCF=-2𝑦2(2𝑥-𝑐)(2𝑐-𝑥)=-1.∴BE与CF互相垂直.答案:垂直SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123455.圆O1与圆O2的半径都是1,|O1O2|=4,过动点P分别作圆O1,O2的切线PM,PN,M,N分别为切点,使得PM=2PN,建立适当坐标系,求动点P的轨迹.解:以O1O2为x轴,以O1O2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,两圆心分别为O1