2018-2019学年高中数学 第一章 空间几何体 1.3.2 球的体积和表面积课件 新人教A版必修

-1-1.3.2球的体积和表面积首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习学习目标思维脉络1.记准球的表面积和体积公式,会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习球的半径为R,则球的体积为43πR3,表面积为4πR2.名师点拨与球有关的组合体的性质可通过画过球心的截面来分析.例如,底面半径为r,高为h的圆锥内部有一球O,且球与圆锥的底面和侧面均相切.过球心O和圆锥的顶点作圆锥的截面,如图所示,则球心是等腰三角形ABC的内接圆的圆心,AB和AC均是圆锥的母线,BC是圆锥底面直径,D是圆锥底面的圆心.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习用同样的方法可得以下的结论:(1)长方体的8个顶点在同一个球面上,则长方体的对角线是球的直径;球与正方体的六个面均相切,则球的直径等于正方体的棱长;球与正方体的12条棱均相切,则球的直径是正方体的面对角线.(2)球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直径.(3)球与圆台的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆台的高.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习做一做1已知球的表面积是16π,则该球的体积为.解析:设球的半径为R,则由题意可知4πR2=16π,解得R=2.所以球的半径为2,体积V=43πR3=323π.答案:323π做一做2设正方体的表面积为24,那么其外接球的体积是.解析:由题意可知,6a2=24,解得a=2.设正方体外接球的半径为R,则3a=2R,∴R=3,∴V球=43πR3=43π.答案:43πZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究一球的表面积和体积球的表面积与体积都是球半径的函数,所以在解答这类问题时,设法求出球的半径是解题的关键.典型例题1△ABC的三个顶点在球O的表面上,且AB=42,AC=2,BC=6.球心O与BC中点的连线长为4.求球的表面积与体积.思路分析:由三边长知△ABC是直角三角形,斜边中点为△ABC外接圆圆心,所以可求球半径.解:因为AB=42,AC=2,BC=6,所以AB2+AC2=BC2,即△ABC为直角三角形.所以平面ABC截球所得截面是以BC为直径的圆.由已知球心O与截面圆心的距离为4,所以球的半径R=42+32=5.所以球的表面积S=4πR2=100π,体积V=43πR3=500π3.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四􀎥变式训练1􀎥若两球的表面积之差为48π,它们的半径之和为6,求两球的体积之差.解:设两个球的半径分别为R,r(Rr),则由题意得4π𝑅2-4π𝑟2=48π,𝑅+𝑟=6,即(𝑅+𝑟)(𝑅-𝑟)=12,𝑅+𝑟=6,整理得𝑅-𝑟=2,𝑅+𝑟=6,解得𝑅=4,𝑟=2.故两球的体积之差为43π×43-43π×23=43π(43-23)=224π3.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究二由三视图求与球有关的组合体的体积与表面积由三视图求与球有关的组合体的表面积或体积时,最重要的是还原组合体,并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义,再根据组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积.计算与球有关的组合体的表面积与体积时还要注意恰当地分割与拼接,避免重叠和交叉等.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四典型例题2某个几何体的三视图如图(单位:m).(1)求该几何体的表面积;(2)求该几何体的体积.思路分析:本题条件中给出的是几何体的三视图及数据,解题时要先根据俯视图来确定几何体的上、下部分形状,然后根据侧视图与正视图确定几何体的形状,并根据有关数据计算.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:由三视图可知,此几何体是一个半径为1的半球和一个棱长为2的正方体组成.(1)S=S半球+S正方体表面积-S圆=12×4π×12+6×2×2-π×12=(24+π)m2.(2)V=V半球+V正方体=12×4π3×13+23=8+2π3m3.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习􀎥变式训练2􀎥某几何体的三视图如图,它的体积为()A.72πB.48πC.30πD.24π解析:由三视图知,该几何体是由圆锥和半球组合而成的,直观图如图,圆锥的底面半径为3,高为4,半球的半径为3.V=V半球+V圆锥=12×43π×33+13×π×32×4=30π.答案:C探究一探究二探究三探究四ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究三与球有关的组合体与球有关的组合体一般有两类,一是与球内接的组合体,在此类组合体中,球心与多面体顶点的连线是半径;二是与球外切的组合体,在这一类组合体中,球心与各切点的连线是半径.在解答与球有关的组合体问题时,要注意这些半径的应用.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四典型例题3各棱长均为3的四面体内有一内切球,求该球的体积.解:如图,在四面体S-ABC中,取底面△ABC的中心为O1,连接SO1,O1A,则SO1⊥O1A.又AO1=23×32×3=1,∴SO1=2.∴四面体的体积为V=13×34×(3)2×2=64.设内切球球心为O,半径为r,连接OS,OA,OB,OC,∴VS-ABC=VO-SAB+VO-SBC+VO-SAC+VO-ABC=13S表·r=13×4×34×(3)2×r=3r=64,∴r=24.∴球的体积为V=4π3r3=4π3×243=2π24.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四方法总结通常用等体积法求一个多面体的内切球半径.􀎥变式训练3􀎥求本例中四面体外接球的表面积.解:外接球的半径R=SO1-r=2−24=324,则外接球的表面积S=4πR2=4π3242=9π2.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三探究四球轴截面的应用球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为平面问题(圆的问题)的关键,因此在解决球的有关问题时,我们必须抓住球的轴截面,并充分利用它来分析解决问题.典型例题4在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体的体积之比.思路分析:过正方体的对角面作一截面,在这个截面中用正方体的棱长、球半径的关系求解;或将球补为一个整球,利用球内接长方体求解.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三解法一:作正方体对角面的截面,如图所示,设半球的半径为R,正方体的棱长为a,那么CC'=a,OC=2𝑎2.在Rt△C'CO中,由勾股定理得CC'2+OC2=OC'2,即a2+2𝑎22=R2,所以R=62a.从而V半球=2π3R3=2π362𝑎3=6π2a3.又V正方体=a3,因此V半球∶V正方体=6π2a3∶a3=6π∶2.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三解法二:将半球补成整个的球,同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体,构成的长方体刚好是这个球的内接长方体,那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径.设原正方体棱长为a,球的半径为R,则根据长方体的对角线性质,得(2R)2=a2+a2+(2a)2,即4R2=6a2,所以R=62a.从而V半球=2π3R3=2π362𝑎3=6π2a3.又V正方体=a3,因此V半球∶V正方体=6π2a3∶a3=6π∶2.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三􀎥变式训练4􀎥本例中已知条件不变,试求这个半球的表面积与正方体的表面积之比.解:S半球=4π62𝑎2×12=3πa2,S正方体=4a2,∴S半球∶S正方体=3π∶4.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123451.把球的表面积扩大到原来的2倍,那么体积扩大到原来的()A.2倍B.22倍C.2倍D.23倍解析:设球变化前后的半径分别为r与r',由已知得4πr'2=2·4πr2,∴r'=2r,∴V'=43πr'3=22×43πr3=22V,即体积变为原来体积的22倍.答案:BSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123452.长方体的一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是()A.22πB.252πC.50πD.200π解析:长方体的体对角线长=32+42+52=52,球的半径为r,则2r=52,∴r=522,∴S表=4πr2=50π.答案:CSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123453.一飞蛾被长为60cm的细线拴在房间一角,则该飞蛾所能活动的空间有cm3.解析:飞蛾活动的范围是以墙角为球心,以60cm为半径的球在房间内的部分,即18球.所以,飞蛾活动的空间有18×4π3×603=36000π(cm3).答案:36000πSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123454.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为.解析:设圆柱的高为h,则3×4π3R3=πR2·h,h=4R.答案:4RSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123455.求一个正方体的外接球、正方体、正方体的内切球的表面积之比.解:设正方体的棱长为2a,外接球半径为R,内切球半径为r,则2R=23a,R=3a,2r=2a,r=a.所以,外接球、正方体、内切球的表面积之比为S1∶S2∶S3=(4πR2)∶[6×(2a)2]∶(4πr2)=[4π(3a)2]∶(24a2)∶(4πa2)=12π∶24∶4π=3π∶6∶π.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点