2018-2019学年高中数学 第一章 计数原理 1.2.2.1 组合及组合数公式课件 新人教B版选

-1-1.2.2组合-2-第一课时组合及组合数公式首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习课程目标学习脉络1.理解组合的概念,会区分排列与组合问题.2.掌握组合数公式,会利用公式解决一些简单组合问题.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习一二一、组合1.一般地,从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合.从排列和组合的定义可知,排列与取出元素的顺序有关,而组合与取出元素的顺序无关.2.从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中,任意取出m个元素的组合数,用符号C𝑛𝑚表示.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习一二思考1组合与排列的异同点是什么?提示:共同点:都是“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素”;不同点:组合是对元素的顺序没有限制,并成一组,而排列是元素按照一定的顺序排成一列.思考2一个组合与组合数有何区别?提示:一个组合是具体的一件事,它不是一个数;而组合数是指所有组合的个数,它是一个数.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习一二二、组合数公式1.组合数的计算公式:C𝑛𝑚=𝑛!𝑚!(𝑛-𝑚)!=𝑛(𝑛-1)(𝑛-2)…(𝑛-𝑚+1)𝑚!,这里m∈N,n∈N+,并且m≤n.2.C𝑛0=1.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究一组合的概念判断一个问题是排列问题还是组合问题,关键在于选出的元素与顺序是否有关,若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题;若交换任意两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问题.【典型例题1】判断下列问题是排列问题还是组合问题,并求出相应的排列数或组合数.(1)10人相互通一次电话,共通多少次电话?(2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),共进行多少场次?(3)从10个人中选出3个人作为代表去开会,有多少种选法?(4)从10个人中选出3个人担任不同学科的课代表,有多少种选法?思路分析:先分清是否与顺序有关,再确定是用排列数公式还是用组合数公式计算.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:(1)是组合问题,因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通了一次电话,没有顺序的区别,组合数为C102=45.(2)是组合问题,因为每两个队比赛一次,并不需要考虑谁先谁后,没有顺序的区别,组合数为C102=45.(3)是组合问题,因为三个代表之间没有顺序的区别,组合数为C103=120.(4)是排列问题,因为三个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的,排列数为A103=720.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究二组合数公式的应用解决有关涉及组合数的具体数字计算问题,可用展开式形式进行计算.而对于含有字母的组合数的式子进行变形或论证通常利用阶乘式,在应用组合数公式的过程中,应注意隐含条件(m,n∈N+,m≤n).【典型例题2】(1)计算C104−C73·A33=.(2)解方程:3C𝑥-3𝑥-7=5A𝑥-42.思路分析:(1)应用组合数展开式计算.(2)应用组合数阶乘式求解,并注意检验.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四(1)解析:C104−C73A33=C104−A73=10×9×8×74×3×2×1-7×6×5=210-210=0.答案:0(2)解:由排列数和组合数公式,原方程可化为3·(𝑥-3)!(𝑥-7)!4!=5·(𝑥-4)!(𝑥-6)!,则3(𝑥-3)4!=5𝑥-6,即为(x-3)(x-6)=40.所以x2-9x-22=0,解之,可得x=11或x=-2.经检验知x=11是原方程的根,x=-2是原方程的增根.所以方程的根为x=11.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究三组合应用问题解决有关组合的实际问题,应首先确定是否是一个组合问题,再灵活选用直接法或间接法,结合两个计数原理进行计算.【典型例题3】在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各1名,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法.(1)有3名内科医生和2名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生;(3)至少有1名主任参加;(4)既有主任,又有外科医生.思路分析:本题各个小题中被选出的元素均没有顺序,因而是组合问题.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:(1)先选内科医生有C63种选法;再选外科医生有C42种选法.故有选派方法C63·C42=120(种).(2)既有内科医生又有外科医生,正面思考应包括四种情况,共有选派方法C61·C44+C62·C43+C63·C42+C64·C41=246(种).若用间接法,则有C105−C65=246(种).(3)包含两类情况:选1名主任有C21·C84种;选2名主任有C22C83种.故共有选派方法C21·C84+C22·C83=196(种).若用间接法,则有C105−C85=196(种).(4)外科主任成为“热点”元素.若选外科主任,则其余可任意选取,有C94种选取方法;若不选外科主任,则必选内科主任,且剩余的四人不能全选内科医生,有(C84−C54)种.故共有选派方法C94+C84−C54=191(种).ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四点评有限制条件的组合问题,其限制条件主要表现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素,一般遵循先特殊再一般、正难则反的策略.对“至多”“至少”“最多”等问题要仔细审题,理解其含义,灵活选择合适方法(直接法、间接法)解决.用间接法时要注意“至少”“最多”“至多”等词语的含义,找到其对立面;用直接法时常以某条件为主线进行分类,做到不重复、不遗漏.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究四易错辨析易错点:对组合数公式中隐含条件重视不够导致增解【典型例题4】已知1C5𝑚−1C6𝑚=710C7𝑚,求m.错解:由已知得𝑚!(5-𝑚)!5!−𝑚!(6-𝑚)!6!=7(7-𝑚)!𝑚!10×7!,即60-10(6-m)=(7-m)(6-m),整理得m2-23m+42=0,解得m=21或m=2.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四错因分析:这是一个关于m的方程.上面解法中,将原式转化为关于m的一元二次方程后,忽略了m的取值范围导致错误.解这类题时,要将C𝑛𝑚中m,n的取值范围与方程的解综合考虑,切忌盲目求解.正解:由题意可知m的取值范围是{m|0≤m≤5,m∈N}.由已知得𝑚!(5-𝑚)!5!−𝑚!(6-𝑚)!6!=7(7-𝑚)!𝑚!10×7!,整理得m2-23m+42=0,解得m=21或m=2.因为m∈{m|0≤m≤5,m∈N},所以m=2.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123451.从7人中选出3人参加座谈会,则不同的选法有()A.210种B.42种C.35种D.6种解析:参加座谈会与顺序无关,是组合问题,共有C73=35种不同的选法.答案:CSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123452.若A𝑚3=6C𝑚4,则m的值为()A.6B.7C.8D.9解析:由A𝑚3=6×C𝑚4,得𝑚!(𝑚-3)!=6·𝑚!4!(𝑚-4)!,即1𝑚-3=14,解得m=7.答案:BSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123453.若集合A={1,2,3},B={1,4,5,6},从这两个集合中各取1个元素,作为平面直角坐标系中点的坐标,能够确定的不同点的个数为()A.11B.12C.23D.24解析:从A,B中各取1个元素可确定C31C41A22=24(个)点,但(1,1)点只能算一个点,故共可确定的点有24-1=23(个).答案:CSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123454.已知集合M={1,2,3,4,5,6},N={6,7,8,9},从M中选3个元素,N中选2个元素组成一个含5个元素的新集合C,则这样的集合C共有个.解析:第一类:从M中选取3个元素且含6有C52种,从N中选取2个元素不含6有C32种,根据分步乘法计数原理,有C52×C32=10×3=30(种);第二类:从M中选取3个元素且不含6有C53种,从N中选取2个元素有C42种,根据分步乘法计数原理,有C53×C42=10×6=60(种).由分类加法计数原理,集合C共有30+60=90(个).答案:90SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123455.判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的子集中含有3个元素的集合有多少个?(2)某条铁路线上有5个车站,则这条线上需准备多少种车票?多少种票价?(3)3人去干5种不同的工作,每人干一种,有多少种分工方法?(4)把3本相同的书分给5个学生,每人最多得1本,有几种分配方法?解:(1)因为集合中的元素与顺序无关,所以是组合问题.(2)因为甲站到乙站与乙站到甲站车票是不同的,所以是排列问题.但票价与顺序无关,甲站到乙站与乙站到甲站票价相同,所以是组合问题.(3)因为是从5种不同的工作中选出3种,按一定顺序分给3个人去干,所以是排列问题.(4)因为3本书是相同的,无论把3本书分给哪三个人,都不需要考虑他们的顺序,所以是组合问题.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点