2018-2019学年高中数学 第一章 计数原理本章测评（含解析）新人教A版选修2-3

-1-第一章测评(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.从4双不同鞋中任取4只,结果都不成双的取法有()A.24种B.16种C.44种D.192种解析:取4只不成双的鞋分4步完成:(1)从第一双鞋任取一只,有2种取法;(2)从第二双鞋任取一只,有2种取法;(3)从第三双鞋任取一只,有2种取法;(4)从第四双鞋任取一只,有2种取法.由分步乘法计数原理,共有24=16种取法.答案:B2.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b,组成复数a+bi,其中虚数有()A.36个B.42个C.30个D.35个解析:由于a,b互不相等且a+bi为虚数,所以b只能从1,2,3,4,5,6中选一个,共6种方法,a从剩余的6个数中选一个有6种方法,根据分步乘法计数原理知,虚数的个数为6×6=36.答案:A3.将(x-q)(x-q-1)(x-q-2)…(x-19)写成的形式是()A.B.C.D.解析:由式子的形式可以看出(x-q)为最大因式,共有20-q个因式连乘.答案:D4.将7名学生分配到甲、乙两间宿舍中,每间宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的分配方案共有()A.252种B.112种C.70种D.56种解析:分两类:甲、乙两间宿舍中一间住4人、另一间住3人或一间住5人、另一间住2人,所以不同的分配方案共有=35×2+21×2=112种.答案:B-2-5.从长度分别为1,2,3,4的4条线段中任取3条,不同取法共有n种.在这些取法中,以取出的3条线段为边可组成三角形的个数为m,则=()A.0B.C.D.解析:由题意知,n==4,由三角形的三边关系知,可组成三角形的只有长度分别为2,3,4的一组线段,即m=1,所以.答案:B6.若x+x2+…+xn能被7整除,则x,n的值可能为()A.x=4,n=3B.x=4,n=4C.x=5,n=4D.x=6,n=5解析:由于x+x2+…+xn=(1+x)n-1,分别将选项A,B,C,D中的值代入检验知,仅有选项C适合.答案:C7.在数字1,2,3与符号“+”“-”五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列的个数是()A.6B.12C.18D.24解析:先排1,2,3,有=6种排法,再将“+”“-”两个符号插入,有=2种排法,共有6×2=12种排法.答案:B8.(1+2)3(1-)5的展开式中x的系数是()A.-4B.-2C.2D.4解析:(1+2)3(1-)5=(1+6+12x+8x)(1-)5,故(1+2)3(1-)5的展开式中含x的项为1×(-)3+12x=-10x+12x=2x,所以x的系数为2.答案:C-3-9.某大型运动会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有()A.36种B.12种C.18种D.48种解析:分两类:若小张或小赵入选,则选法种数为=24;若小张、小赵都入选,则选法种数为=12,所以,共有36种不同的选派方案.答案:A10.从正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点,可得到的不同四面体的个数为()A.-12B.-8C.-6D.-4解析:在正方体中,6个面和6个对角面上的四个点不能构成四面体.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.如图所示为一电路图,若只闭合一条线路,从A处到B处共有条不同的线路可通电.解析:按上、中、下三条线路可分为三类,上线路中有3种,中线路中有一种,下线路中有2×2=4种.根据分类加法计数原理,共有3+1+4=8种不同的线路.答案:812.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是(用数字作答).解析:可分类讨论:第一类,7级台阶上每一级只站一人,则有种;第二类,若有一级台阶有2人,另一级有1人,则共有种,因此共有不同的站法种数是=336.答案:33613.若(ax-1)5的展开式中x3的系数是80,则实数a的值是.解析:设通项公式为Tr+1=a5-rx5-r(-1)r,令5-r=3,得r=2,a5-2(-1)2=80,解得a=2.-4-答案:214.设a∈Z,且0≤a13,若512014+a能被13整除,则a=.解析:∵52能被13整除,∴512014可化为(52-1)2014,其展开式的通项为Tr+1=522014-r·(-1)r.故(52-1)2014被13除余数为·(-1)2014=1,则当a=12时,512014+12能被13整除.答案:1215.在100,101,102,…,999这些数中,各位数字按严格递增(如“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是.把符合条件的所有数按从小到大的顺序排列,则321是第个数(用数字作答).解析:由题意知,不含0的三位数有2个,含0的三位数中,0只能作为个位数,有个,共有满足条件的三位数2=204(个);百位为1的数共有=28个,百位为2的数共有+1=22(个),百位为3的数从小到大排列为310,320,321,…,故321是第53个数.答案:20453三、解答题(本大题共2小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(10分)有大小、形状、质地相同的6个球,其中3个一样的黑球,红、白、蓝球各1个,现从中取出4个球排成一列,共有多少种不同的排法?分析:可按取1个、2个、3个黑球进行分类求解.解:分三类:(1)若取1个黑球,和另三个球排4个位置,不同的排法为=24种;(2)若取2个黑球,从另三个球中选2个排4个位置,2个黑球是相同的,自动进入,不需要排列,即不同的排法种数为=36;(3)若取3个黑球,从另三个球中选1个排4个位置,3个黑球是相同的,自动进入,不需要排列,即不同的排法种数为=12.综上,不同的排法种数为24+36+12=72.17.(15分)已知的展开式中前三项的系数成等差数列.-5-(1)求n的值;(2)求展开式中系数最大的项.分析:可用通项公式写出前三项的系数,利用等差中项的性质即可求出n的值;所谓系数最大的项,即只要某一项的系数不小于与它相邻的两项的系数即可,这是由二项式系数的增减性决定的.解:(1)由题意,得=2×,即n2-9n+8=0,解得n=8,n=1(舍去).(2)设第r+1项的系数最大,则即解得r=2或r=3.所以系数最大的项为T3=7x5,T4=7.