2018-2019学年高中数学 第三章 三角恒等变换 第1节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第2

1课下能力提升(二十三)[学业水平达标练]题组1给角求值问题1．sin105°的值为()A.3＋22B.2＋12C.6－24D.2＋64解析：选Dsin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝22×12＋22×32＝2＋64.2．sinθ＋sinθ＋2π3＋sinθ＋4π3的值为()A．0B.12C．1D．2解析：选A原式＝sinθ＋sinθcos2π3＋cosθsin2π3＋sinθcos4π3＋cosθsin4π3＝sinθ－12sinθ＋32cosθ－12sinθ－32cosθ＝0.3．tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°的值是________．解析：∵tan60°＝3＝tan23°＋tan37°1－tan23°tan37°，∴tan23°＋tan37°＝3－3tan23°tan37°，∴tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°＝3.答案：3题组2给值(式)求角问题4．设α，β为钝角，且sinα＝55，cosβ＝－31010，则α＋β的值为()A.3π4B.5π4C.7π4D.5π4或7π4解析：选C因为α，β为钝角，且sinα＝55，cosβ＝－31010，所以cosα＝－255，sinβ＝1010，故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－255×－31010－55×1010＝22，所以α＋β的值为7π4.5．若(tanα－1)(tanβ－1)＝2，则α＋β＝________.解析：(tanα－1)(tanβ－1)＝2⇒tanαtanβ－tanα－tanβ＋1＝2⇒tanα2＋tanβ＝tanαtanβ－1⇒tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－1，即tan(α＋β)＝－1，∴α＋β＝kπ－π4，k∈Z.答案：kπ－π4，k∈Z6．已知△ABC中B＝60°，且1cosA＋1cosC＝－2cosB，若AC，则A的值为________．解析：由已知B＝60°，A＋C＝120°，设A－C2＝α，∵AC，则0°α120°，故A＝A＋C2＋A－C2＝60°＋α，C＝A＋C2－A－C2＝60°－α，故1cosA＋1cosC＝1＋α＋1－α＝112cosα－32sinα＋112cosα＋32sinα＝cosα14cos2α－34sin2α＝cosαcos2α－34.由题设有cosαcos2α－34＝－2cosB＝－22，整理得：42cos2α＋2cosα－32＝0.(2cosα－2)(22cosα＋3)＝0.∵22cosα＋3≠0，∴2cosα－2＝0.∴cosα＝22.故α＝45°，A＝60°＋45°＝105°.答案：105°题组3条件求值问题7．若cosα＝－45，α是第三象限角，则sinα＋π4＝()A．－7210B.7210C．－210D.2103解析：选A因为cosα＝－45，α是第三象限角，所以sinα＝－35，由两角和的正弦公式可得sinα＋π4＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝－35×22＋－45×22＝－7210.8．设α∈0，π2，β∈π2，π，若cosβ＝－13，sin()α＋β＝79，则sinα的值为()A.127B.527C.13D.2327解析：选C因为α∈0，π2，β∈π2，π，所以α＋β∈π2，3π2.由cosβ＝－13，sin(α＋β)＝79，得sinβ＝223，cos(α＋β)＝－429，所以sinα＝sin[(α＋β)－β]＝79×－13－－429×223＝13.9．在△ABC中，∠C＝120°，tanA＋tanB＝233，则tanA·tanB的值为()A.14B.13C.12D.53解析：选B∵∠C＝120°，∴∠A＋∠B＝60°，∴tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanA·tanB＝3，∴tanA＋tanB＝3(1－tanA·tanB)＝233，解得tanA·tanB＝13.故选B.10．若0απ2，－π2β0，cos5π4＋α＝－13，cosπ4－β2＝33，则cosα＋β2的值为________．解析：∵cos5π4＋α＝－13，∴cosπ4＋α＝13.∵0απ2，∴π4α＋π43π4，∴sinπ4＋α＝223.∵－π2β0，∴π4π4－β2π2.4又cosπ4－β2＝33，∴sinπ4－β2＝63，∴cosα＋β2＝cosπ4＋α－π4－β2＝cosπ4＋αcosπ4－β2＋sinπ4＋αsinπ4－β2＝13×33＋223×63＝539.答案：539[能力提升综合练]1．在△ABC中，如果sinA＝2sinCcosB，那么这个三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形解析：选C∵A＋B＋C＝π，∴A＝π－(B＋C)．由已知可得sin(B＋C)＝2sinCcosB⇒sinBcosC＋cosBsinC＝2sinCcosB⇒sinBcosC－cosBsinC＝0⇒sin(B－C)＝0.∵0Bπ，0Cπ，∴－πB－Cπ.∴B＝C.故△ABC为等腰三角形．2．已知向量a＝sinα＋π6，1，b＝(4,4cosα－3)，若a⊥b，则sinα＋4π3等于()A．－34B．－14C.34D.14解析：选Ba·b＝4sinα＋π6＋4cosα－3＝23sinα＋6cosα－3＝43sinα＋π3－3＝0，∴sinα＋π3＝14.sinα＋4π3＝－sinα＋π3＝－14.3.tan10°＋tan50°＋tan120°tan10°tan50°的值等于()A．－1B．1C.3D．－3解析：选D∵tan60°＝tan(10°＋50°)＝tan10°＋tan50°1－tan10°tan50°，∴tan10°＋tan50°＝tan60°－tan60°tan10°tan50°.∴原式＝tan60°－tan60°tan10°tan50°＋tan120°tan10°tan50°＝－3.4．在△ABC中，若tanAtanB1，则△ABC是()5A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上均有可能解析：选A由tanAtanB1，得角A，B均为锐角，然后切化弦，得sinAsinBcosAcosB，即cos(A＋B)0，∴cos(π－C)0，∴－cosC0，∴cosC0，∴角C为锐角，∴△ABC是锐角三角形，故选A.5．定义运算acbd＝ad－bc.若cosα＝17，sinαcosαsinβcosβ＝3314，0βαπ2，则β＝________.解析：依题设得：sinαcosαsinβcosβ＝sinα·cosβ－cosα·sinβ＝sin(α－β)＝3314.∵0βαπ2，∴cos(α－β)＝1314.又∵cosα＝17，∴sinα＝437，∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinα·cos(α－β)－cosα·sin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32，∴β＝π3.答案：π36．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解：由条件得cosα＝210，cosβ＝255.∵α，β为锐角，∴sinα＝1－cos2α＝7210，sinβ＝1－cos2β＝55.∴tanα＝7，tanβ＝12.6(1)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝α＋β＋tanβ1－α＋ββ＝－3＋121－－12＝－1，又∵α，β为锐角，∴0α＋2β3π2，∴α＋2β＝3π4.7．已知函数f(x)＝2cosx4＋π6，x∈R.设α，β∈0，π2，f4α＋4π3＝－3017，f4β－2π3＝85，求cos(α＋β)的值．解：∵f4α＋4π3＝－3017，∴2cos144α＋4π3＋π6＝2cosα＋π2＝－3017，∴sinα＝1517.又∵f4β－2π3＝85，∴2cos144β－2π3＋π6＝2cosβ＝85，∴cosβ＝45.又∵α，β∈0，π2，∴cosα＝817，sinβ＝35，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝817×45－1517×35＝－1385.7