2018-2019学年高中数学 第三讲 圆锥曲线性质的探讨课件 新人教A版选修4-1

[学习目标]1.了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，了解平行投影.2.会证平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆).3.能够用运动变化的观点理解柱面、旋转面的概念，进而掌握圆柱面的性质.4.在一般截面的几何性质的探究中，体验使用焦球的意义，逐步培养对几何图形中不变量的研究意识.5.用平面截圆锥面研究所得曲线的基本特征并加以证明，从新的角度认识椭圆、双曲线和抛物线.[知识链接]1.一个圆所在的平面α与平面β平行时，该圆在平面β上的正射影是什么图形？提示圆.2.一个圆所在的平面α与平面β不平行时，该圆在平面β上的正射影是什么图形？提示椭圆.3.回想一下，椭圆是如何定义的？提示平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.4.用一个平面去截一个圆柱，截面将是怎样一个平面图形？提示用一个平面去截一个圆柱，当平面与圆柱的两底面平行时，截面是一个圆，当平面与圆柱的两底面不平行时，截面是一个椭圆，当平面与圆柱两底面垂直时，截面是一个矩形.[预习导引]1.正射影(1)定义：给定一个平面α，从一点A作平面α的垂线，垂足为点A′.称点A′为点A在平面α上的正射影.一个图形上各点在平面α上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面α上的正射影.(2)圆面的正射影：一个圆所在的平面β与平面α平行，那么该圆在平面α上的正射影显然是一个圆，并且是和原来的圆相同的圆；如果圆所在的平面β与平面α不平行且不垂直时，从生活经验我们知道，正射影的形状发生了变化，就好像一个圆被压扁了，我们称之为椭圆；如果圆所在的平面β与平面α垂直时，那么该圆在平面α上的正射影是一条线段，其长度等于圆的直径.2.平行射影定义：设直线l与平面α相交(如图)，称直线l的方向为投影方向.过点A作平行于l的直线(称为投影线)，必交α于一点A′，称点A′为A沿l的方向在平面α上的平行射影.一个图形上各点在平面α上的平行射影所组成的图形，叫作这个图形的平行射影.显然，正射影是平行射影的特例.3.定理1文字语言圆柱形物体的斜截口是椭圆符号语言平面α与圆柱OO′的轴斜交，则截口是椭圆图形语言作用判断截口形状是椭圆4.椭圆(1)定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫作椭圆.(2)组成元素：如图所示，F1，F2是椭圆的焦点，B1B2是F1F2的中垂线.我们把A1A2叫作椭圆的长轴，B1B2叫作椭圆的短轴，F1F2叫作椭圆的焦距，如果长轴为2a，短轴为2b，那么焦距2c＝2a2－b2.(3)Dandelin双球探究椭圆性质：如图所示，设球O1，O2与圆柱的交线(圆)所在的平面分别为α，γ，椭圆所在的斜截面β与它们的交线分别为l1，l2，α，γ与β所成的二面角为θ，母线与平面β的夹角为φ.由于α，β，γ都是确定的，因此交线l1，l2也是确定的，且φ，θ均为定值.①当点P在椭圆的任意位置时，过P作l1的垂线，垂足为Q，过P作平面α的垂线，垂足为K1，连接K1Q，得Rt△PK1Q，则∠QPK1＝φ.从而有PF1PQ＝PK1PQ＝cosφ＝定值.②椭圆上任意一点到焦点F1的距离与到直线l1的距离之比为定值cosφ.我们把直线l1叫作椭圆的一条准线.③椭圆上任意一点到焦点F2的距离与到直线l2的距离之比也为定值cosφ，所以l2是椭圆的另一条准线.④记e＝cosφ，我们把e叫作椭圆的离心率.5.定理2文字语言若用一个平面去截一个正圆锥(两边可以无限延伸)，而且这个平面不通过圆锥的顶点，则会出现下列情况：(1)如果平面与一条母线平行，那么平面就只与正圆锥的一半相交，这时的交线是抛物线；(2)如果平面不与母线平行，当平面只与圆锥的一半相交，这时的交线为椭圆；当平面与圆锥的两个部分都相交，这时的交线是双曲线.符号语言在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面.任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，则：(1)βα，平面π与圆锥的交线为椭圆；(2)β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；(2)βα，平面π与圆锥的交线为双曲线.图形语言作用确定交线的形状6.圆锥曲线的结构特点(1)椭圆上的点到两个定点(焦点)的距离之和为常数(长轴长2a).(2)双曲线上的点到两个定点(焦点)的距离之差的绝对值为常数(实轴长2a).(3)抛物线上的点到一个定点(焦点)和一条定直线的距离相等.7.圆锥曲线的几何性质(1)焦点：Dandelin球与平面π的切点.(2)准线：截面与Dandelin球和圆锥交线所在平面的交线.(3)离心率：e＝cosβcosα.(4)圆锥曲线的几何性质项目椭圆双曲线抛物线焦点2个2个1个准线2条2条1条离心率e＝cosβcosα1e＝cosβcosα1e＝1`焦距F1F2＝2cc2＝a2－b2F1F2＝2cc2＝a2＋b2－离心率e＝cae＝ca准线间距2a2c2a2c－曲线上的点到焦点距离PF1＋PF2＝2a|PF1－PF2|＝2a－要点一正投影例1P是△ABC所在平面α外一点，O是点P在平面α内的正射影.(1)若P点到△ABC的三个顶点等距离，那么O点是△ABC的什么心？(2)若P点到△ABC的三边距离相等，且O点在△ABC的内部，那么O点是△ABC的什么心？(3)若PA，PB，PC两两互相垂直，O点是△ABC的什么心？解如图所示.(1)若PA＝PB＝PC，O为P在平面ABC上的正射影.故有OA＝OB＝OC，∴O为△ABC的外心.(2)由P到△ABC的三边距离相等.故有O到△ABC的三边距离相等，∴O为△ABC的内心.(3)∵PO⊥平面ABC，PA⊥BC，∴OA⊥BC，同理OB⊥AC，OC⊥AB，∴O为△ABC的垂心.规律方法确定一个几何图形的正射影，其实质是确定其边界点的正射影的位置.在解决此类问题时，一定要全面考虑.跟踪演练1已知l1，l2为不垂直的异面直线，α是一个平面，则l1，l2在平面α上的正射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.其中结论正确的是________(写出所有正确结论的编号).解析如图所示，可知①②④正确，而对于③，若两直线的正射影是同一条直线，则两直线必共面，这与l1，l2异面矛盾，∴③错.故填①②④.答案①②④要点二平行投影例2如图所示，边长为20的正△ABC的顶点A在平面α内，B，C在平面α同侧，且B，C到α的距离分别是10和5，求△ABC所在平面和α所成的二面角的大小.解设BD，CE是点B，C到平面α的距离，则BD⊥α，CE⊥α，BD＝10，CE＝5，由直线与平面垂直的性质，得BD∥CE，∴B，D，E，C共面.∵BD≠CE，∴BC，DE必相交，设交点为F.∵DF⊂α，∴F∈α.∵BC⊂平面ABC，∴F∈平面ABC，∴F是平面ABC和平面α的又一公共点.∵A是平面ABC和平面α的公共点，∴平面ABC∩平面α＝AF.在△BDF中，∵BD∥CE，BD＝2CE，∴CF＝BC.又∵△ABC为正三角形，∴CF＝AC，∠ACF＝120°.∴∠BAF＝∠BAC＋∠CAF＝60°＋30°＝90°.由正投影变换的性质，得DA⊥AF，∠BAD是△ABC和平面α所成的二面角的平面角.在Rt△ABD中，AB＝20，BD＝10，∴∠BAD＝30°，∴△ABC所在平面和α所成的二面角的大小为30°.规律方法在必修中，我们讨论了点、直线在平面上的射影，也就是正射影，因而利用平行投影及其性质可以讨论立体几何中有关射影问题，如直线与平面所成的角、二面角的大小等.跟踪演练2有下列4个命题：①矩形的平行射影一定是矩形；②矩形的正射影一定是矩形；③梯形的平行射影一定是梯形；④梯形的正射影一定是梯形.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3解析①矩形的平行射影可以是矩形、平行四边形或线段，因而一定是矩形不成立.②矩形的正射影也有矩形、平行四边形、线段三种情况，因而矩形的正射影一定是矩形不正确.③梯形的平行射影可以是梯形、线段，因而梯形的平行射影一定是梯形不正确.④中梯形的中正射影可能是梯形、线段，因而梯形的正射影一定是梯形的说法是错误的.故选A.答案A要点三圆锥曲线类型的判断例3圆锥侧面展开图扇形的中心角为2π，AB，CD是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么圆锥曲线？解设⊙O的半径为R，母线VA＝l，则侧面展开图的中心角为2πRl＝2π，∴圆锥的半顶角α＝π4.连接OE，∵O，E分别是AB，VB的中点，∴OE∥VA.∴∠VOE＝∠AVO＝π4.又∵AB⊥CD，VO⊥CD，AB∩VO＝O，∴CD⊥平面VAB，∴平面CDE⊥平面VAB，即平面VAB为截面CDE的轴面，∴∠VOE为截面与轴线所夹的角，即为π4.又∵圆锥的半顶角和截面与轴线的夹角相等，故截面CDE与圆锥的截线为一抛物线.规律方法判断平面与圆锥面的截线的形状的方法：(1)求圆锥面的母线与轴线的夹角α，截面与轴线的夹角β；(2)判断α与β的大小关系；(3)根据定理2判断截线是什么曲线.跟踪演练3在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均相切，若平面π与双球的切点不重合，则平面π与圆锥面的截线是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析由于平面π与双球的切点不重合，则平面π与圆锥母线不平行，且只与圆锥的一半相交，则截线是椭圆.答案B要点四圆锥曲线的性质例4已知一平面垂直于轴线截一圆柱面所得的截线为半径为3的圆，另一截面与圆柱的轴线的交角为60°，求椭圆截线的两个焦点之间的距离.解如图所示，已知斜截面与圆柱的轴线的交角为60°，即与圆柱母线的交角为60°，故椭圆的长半轴长a＝rsinφ＝3sin60°＝23，又椭圆的短半轴长b＝r＝3，故椭圆的焦距2c＝2a2－b2＝23.即椭圆截线的两个焦点间的距离为23.规律方法当已知斜截面与圆柱面的母线或直截面的交角时，我们可以确定椭圆的各个参量.如设斜截面与圆柱面的母线的交角为φ，圆柱面的半径为r，则截线椭圆的长轴长2a＝2rsinφ，短轴长2b＝2r，离心率e＝cosφ，焦距2c＝2acosφ＝2rcotφ.跟踪演练4如图，讨论其中双曲线的离心率，其中π′是Dandelin球与圆锥面交线S2所在的平面，与π的交线为m.解P是双曲线上任意一点，连接PF2，过P作PA⊥m于A，连接AF2，过P作PB⊥平面π′于B，连接AB，过P作母线交S2于Q2.∵PB平行于圆锥的轴，∴∠BPA＝β，∠BPQ2＝α.在Rt△BPA中，PA＝PBcosβ，PQ2＝PBcosα，由切线长定理得PF2＝PQ2，∴PF2＝PBcosα.∴e＝PF2PA＝cosβcosα.∵0βαπ2，∴cosβcosα.∴e1.同理，另一分支上的点也具有同样的性质，综上所述，双曲线的准线为m，离心率e＝cosβcosα.1.一个平面图形在平面α上的射影形状取决于该平面图形所在平面与投影平面的空间关系：所在平面与投影平面平行，射影图形与原图形全等，圆的射影仍然是圆；所在平面与投影平面垂直，射影图形是一条直线或线段或点，圆的射影是线段；所在平面与投影平面斜交，圆的射影是椭圆.2.几个重要结论(1)垂直截面与柱面的交线为一个圆.(2)不平行于圆柱面母线的平面截割圆柱面，其截线是一个椭圆，椭圆的短半轴等于圆柱面的半径r.长半轴等于rsinα(α是截割平面与圆柱面母线所成的角).1.下列说法正确的是()A.两条相交直线的平行射影还是相交直线B.两条平行直线的平行射影还是平行直线C.线段中点的平行射影仍然是该线段平行射影的中点D.角的平分线的平行射影还是该角平行射影的平分线解析两条相交直线的平行射影可能是相交直线，也可能是一条直线，A错，两条平行直线的平行射影可能是平行直线，也可能是一条直线，甚至是两个点，B错，角的平分线的平行射影可能与角的两边重合，不一定是该角平行射影的平分线，D错；C对.答案C2.一圆柱面被一平面所截，平面与母线成60°角