2018-2019学年高中数学 第二章 参数方程本章整合课件 北师大版选修4-4

-1-本章整合JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习参数方程参数方程的概念直线和圆锥曲线的参数方程直线的参数方程:过点𝑀0(𝑥0,𝑦0)倾斜角为α的直线l的参数方程为𝑥=𝑥0+tcos𝛼,𝑦=𝑦0+tsin𝛼(t为参数)椭圆的参数方程1.中心在原点,焦点在𝑥轴上,标准方程是𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a𝑏0)的椭圆参数方程为𝑥=𝑎cos𝜑,𝑦=𝑏sin𝜑(φ为参数)2.中心在原点,焦点在𝑦轴上,标准方程是𝑥2𝑏2+𝑦2𝑎2=1(a𝑏0)的椭圆参数方程为𝑥=𝑏cos𝜑,𝑦=𝑎sin𝜑(φ为参数)双曲线的参数方程1.中心在原点,焦点在𝑥轴上,标准方程为𝑥2𝑎2-𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的双曲线参数方程为𝑥=𝑎1cos𝜑,𝑦=𝑏tan𝜑(φ为参数)2.中心在原点,焦点在𝑦轴上,标准方程为𝑦2𝑎2-𝑥2𝑏2=1(a0,b0)的双曲线参数方程为𝑥=𝑏tan𝜑,𝑦=𝑎1cos𝜑(φ为参数)参数方程与普通方程的互化1.代入消元法2.加减消元法3.利用代数式三角函数中的恒等式消元参数渐开线与平摆线平摆线定义:平面内一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹,叫作平摆线,简称摆线参数方程:半径为𝑟的圆产生的摆线的参数方程为𝑥=𝑟(𝜑-sin𝜑),𝑦=𝑟(1-cos𝜑)(φ为参数)渐开线定义:把一条没有弹性的绳子绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一根铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切,逐渐展开,铅笔画出的线为圆的渐开线,相应的定圆称为渐开线的基圆参数方程:半径为𝑟的基圆的渐开线的参数方程是𝑥=𝑟(cos𝜑+𝜑sin𝜑),𝑦=𝑟(sin𝜑-𝜑cos𝜑)(φ为参数)ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题一参数方程和普通方程的互化在求出曲线的参数方程后,通常利用消参法得出普通方程.一般地,消参数经常采用的是代入法和三角公式法.但将曲线的参数方程化为普通方程,不只是把其中的参数消去,还要注意x,y的取值范围在消参前后应该是一致的,也就是说,要使得参数方程与普通方程等价,即它们二者要表示同一曲线.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二【应用】参数方程𝑥=5cos𝜃,𝑦=5sin𝜃-π2≤θ≤π2表示的曲线是什么?提示:先将参数方程化为普通方程再判断曲线的形状.解:化为普通方程是x2+y2=25,∵-π2≤θ≤π2,∴0≤x≤5,-5≤y≤5.∴表示以(0,0)为圆心,5为半径的右半圆.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题二参数方程的应用1.在圆锥曲线中常涉及曲线上某点到另外一点的距离问题,利用参数方程可以转化到三角函数、二次函数等问题来求解,利用三角函数的有界性及参数的范围得最大值或最小值.2.求动点轨迹方程就是求动点的横坐标与纵坐标之间的关系式,若动点的横坐标、纵坐标都能用一个参数表示出来,一般情况下都可以消去参数得到轨迹方程.3.在一些恒等式的证明中,如果各个量之间难以找到它们之间的直接关系,可以借助参数方程使各量用参数表示出来,再去化简证明.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二【应用1】如图所示,已知圆的方程为x2+y2=12,椭圆的方程为𝑥225+𝑦216=1,过原点的射线交圆于点A,交椭圆于点B.过A,B分别作x轴和y轴的平行线,求所作两直线交点P的轨迹方程.提示:借助于圆、椭圆的参数方程求解.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二解:设A22cos𝛼,22sin𝛼,B(5cosθ,4sinθ)(θ为离心角),则所求轨迹的参数方程为𝑥=5cos𝜃,①𝑦=22sin𝛼②(α,θ为参数).由O,A,B三点共线,知kOA=kOB,从而得双参数θ和α的一个约束条件为tanα=45tanθ.③由①,得tan2θ=25-𝑥2𝑥2.④由②,得tan2α=2𝑦21-2𝑦2.⑤将③式两边平方,得tan2α=1625tan2θ.⑥把④⑤代入⑥,化简,整理,得轨迹方程为8x2+9x2y2+400y2=200.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二【应用2】过点B(0,-a)作双曲线x2-y2=a2右支的割线BCD,又过右焦点F作平行于BD的直线,交双曲线于G,H两点.(1)求证:𝐵𝐶𝐺𝐹·𝐵𝐷𝐹𝐻=2;(2)设M为弦CD的中点,S△MBF=322a2,求割线BD的斜率.提示:要考虑点B的位置,讨论a的正、负.(1)证明:当a0时,设割线的倾斜角为α,则它的参数方程为𝑥=𝑡cos𝛼,𝑦=-𝑎+𝑡sin𝛼(t为参数).①则过焦点F平行于BD的直线GH的参数方程为𝑥=2a+tcos𝛼,𝑦=𝑡sin𝛼(t为参数).②ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二将①代入双曲线方程,得t2cos2α+2atsinα-2a2=0.设方程的解为t1,t2,则有BC·BD=t1t2=-2𝑎2cos2𝛼,同理,GF·FH=-FG·FH=-𝑎2cos2𝛼.∴𝐵𝐶𝐺𝐹·𝐵𝐷𝐹𝐻=2,当a0时,同理可得上述结果.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二(2)解:当a0时,首先确定割线BD的倾斜角的范围,显然1tanα2,于是BM=𝐵𝐶+𝐵𝐷2=𝑡1+𝑡22=-𝑎sin𝛼cos2𝛼0.设F到BD的距离为d,则d=|-tan𝛼·2a+0+a|1cos𝛼=2atan𝛼-𝑎1cos𝛼,∴12-𝑎sin𝛼cos2𝛼·2atan𝛼-𝑎1cos𝛼=322a2,∴tanα=324或tanα=-2(舍).同理,当a0时,-2tanα-1.同理可求得tanα=-324,故BD的斜率为324或-324.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习