2018-2019学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1 直线与平面垂直的判

-1-2.3.1直线与平面垂直的判定A组1.已知m,n是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下面命题正确的是()A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βB.若m⊥α,n⊥α,则m∥nC.若m∥α,n∥α,则m∥nD.若m∥α,m∥β,则α∥β解析:选项A中,α⊥γ,β⊥γ⇒α与β平行或相交,∴A不正确;选项C中,m∥α,n∥α⇒m与n平行、相交或异面,∴C不正确;选项D中,m∥α,m∥β⇒α与β平行或相交,∴D不正确.故选B.答案:B2.空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是()A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交解析:取BD的中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO,∴BD⊥面AOC,BD⊥AC,又BD,AC异面,∴选C.答案:C3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AD1垂直的平面是()A.平面DD1C1CB.平面A1DB1C.平面A1B1C1D1D.平面A1DB解析:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1⊥平面ADD1A1,AD1⊂平面ADD1A1,∴A1B1⊥AD1.又在正方形ADD1A1中,AD1⊥A1D,A1B1∩A1D=A1,∴AD1⊥平面A1DB1.答案:B-2-4.如图所示,PA⊥平面ABC,△ABC中BC⊥AC,则图中直角三角形的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:⇒BC⊥PC,∴直角三角形有△PAB,△PAC,△ABC,△PBC.答案:D5.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=,则PC与平面ABCD所成角的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°解析:如图,连接AC.∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角.∵AC=,PA=,∴tan∠PCA=.∴∠PCA=60°.答案:C6.已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等,则点P在平面ABC内的射影是△ABC的.解析:P到△ABC三顶点的距离都相等,则点P在平面ABC内的射影到△ABC三顶点的距离都相等,所以是外心.答案:外心7.在Rt△ABC中,D是斜边AB的中点,AC=6,BC=8,EC⊥平面ABC,且EC=12,则ED=.解析:如图,∵AC=6,BC=8,∴AB=10,∴CD=5.在Rt△ECD中,EC=12,∴ED==13.答案:13-3-8.如图,已知△ABC为等腰直角三角形,P为空间一点,且AC=BC=5,PC⊥AC,PC⊥BC,PC=5,AB的中点为M,连接PM,CM,则PM与平面ABC所成的角的大小为.解析:由PC⊥AC,PC⊥BC,AC∩BC=C,知PC⊥平面ACB,∴∠PMC为PM与平面ABC所成的角.又∵M是AB的中点,∴CM=AB=5.又PC=5,∴∠PMC=45°.答案:45°9.如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E是BC的中点,连接AE,AC.求证:AE⊥PD.证明:∵四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,∴△ABC为正三角形.∵E为BC的中点,∴AE⊥BC.又∵BC∥AD,∴AE⊥AD.∵PA⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,∴PA⊥AE.又PA⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,且PA∩AD=A,∴AE⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD,∴AE⊥PD.10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求A1B与平面BB1D1D所成角的大小.解:如图,连接A1C1交B1D1于E,则有A1C1⊥B1D1,连接BE.∵DD1⊥平面A1C1,A1C1⊂平面A1C1,∴DD1⊥A1C1.∴A1E⊥DD1.又∵A1E⊥B1D1,且DD1∩B1D1=D1,∴A1E⊥平面BB1D1D.∴∠A1BE就是A1B与平面BB1D1D所成的角.在Rt△A1EB中,A1E=A1C1=A1B.∴sin∠A1BE=,∴∠A1BE=30°.即A1B与平面BB1D1D所成的角为30°.B组1.如果MC⊥菱形ABCD所在平面,那么MA与BD的位置关系是()A.平行B.垂直相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直解析:-4-如图,连接AC.因为ABCD是菱形,所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD,则BD⊥MC.因为AC∩MC=C,所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC,所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面,因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.答案:C2.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么,在这个空间图形中必有()A.AH⊥△EFH所在平面B.AG⊥△EFH所在平面C.HF⊥△AEF所在平面D.HG⊥△AEF所在平面解析:原题图中AD⊥DF,AB⊥BE,所以折起后AH⊥FH,AH⊥EH,FH∩EH=H,所以AH⊥△EFH所在平面.答案:A3.在四面体P-ABC中,若PA=PB=PC,则点P在平面ABC内的射影点O是三角形ABC的()A.内心B.外心C.垂心D.重心解析:如图所示:∵PO⊥底面ABC,∴PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC.在Rt△POA和Rt△POB中,PA=PB,PO=PO,∴△POA≌△POB,∴OA=OB.同理可证OB=OC,∴O是△ABC的外心.故选B.答案:B4.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则平行四边形ABCD一定是.解析:由于PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.因为PC⊥BD,且PC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,PC∩PA=P,所以BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC,所以BD⊥AC.又四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD是菱形.答案:菱形5.-5-如图,∠ACB=90°,平面ABC外有一点P,PC=4cm,点P到角的两边AC,BC的距离都等于2cm,那么PC与平面ABC所成角的大小为.解析:过P作PO⊥平面ABC于点O,连接CO,则CO为∠ABC的平分线,且∠PCO为PC与平面ABC所成的角,设其为θ,连接OF,易知△CFO为直角三角形.又PC=4,PF=2,∴CF=2,∴CO=2,在Rt△PCO中,cosθ=,∴θ=45°.答案:45°6.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误．．的是.(填序号)①BD∥平面CB1D1;②AC1⊥BD;③AC1⊥平面CB1D1;④异面直线AD与CB1所成的角为60°.解析:由于BD∥B1D1,BD⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,则BD∥平面CB1D1,所以①正确;由于BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1,所以AC1⊥BD.所以②正确;可以证明AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,所以AC1⊥平面CB1D1,所以③正确;由于AD∥BC,则∠BCB1=45°是异面直线AD与CB1所成的角,所以④错误.答案:④7.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°,D为BB1的中点.求证:AD⊥平面A1DC1.证明:∵AA1⊥底面ABC,平面A1B1C1∥平面ABC,-6-∴AA1⊥平面A1B1∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1=90°,∴A1C1⊥A1B1.而A1B1∩AA1=A1,∴A1C1⊥平面AA1B1B,AD⊂平面AA1B1B,∴A1C1⊥AD.由已知计算得AD=,A1D=,AA1=2.∴AD2+A1D2=A,∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D=A1,∴AD⊥平面A1DC1.8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,A1D1的中点,求:(1)D1B与平面ABCD所成角的余弦值;(2)EF与平面A1B1C1D1所成的角.解:(1)如图,连接DB.∵D1D⊥平面ABCD,∴DB是D1B在平面ABCD内的射影.则∠D1BD即为D1B与平面ABCD所成的角.∵DB=AB,D1B=AB,∴cos∠D1BD=,即D1B与平面ABCD所成角的余弦值为.(2)∵E是A1A的中点,A1A⊥平面A1B1C1D1,∴∠EFA1是EF与平面A1B1C1D1所成的角.在Rt△EA1F中,∵F是A1D1的中点,∴∠EFA1=45°.