2018-2019学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3 直线与平面垂直的性

-1-2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质A组1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1,则有()A.B1B⊥lB.B1B∥lC.B1B与l异面D.B1B与l相交解析:因为B1B⊥平面A1C1,又l⊥平面A1C1,则l∥B1B.答案:B2.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,在平面AB1上任取一点M,作ME⊥AB于E,则()A.ME⊥平面ACB.ME⊂平面ACC.ME∥平面ACD.以上都有可能解析:由于平面AB1⊥平面AC,平面AB1∩平面AC=AB,ME⊥AB,ME⊂平面AB1,所以ME⊥平面AC.答案:A3.已知l⊥平面α,直线m⊂平面β.有下面四个命题:①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③l∥m⇒α⊥β;④l⊥m⇒α∥β.其中正确的两个命题是()A.①②B.③④C.②④D.①③解析:∵l⊥α,α∥β,∴l⊥β.又m⊂β,∴l⊥m,故①正确.由l⊥α,α⊥β可得l∥β或l⊂β,再由m⊂β内得不到l∥m,故②错.∵l⊥α,m∥l,∴m⊥α,m⊂β.∴α⊥β,故③正确.若α∩β=m,也可满足l⊥α,l⊥m,故④错.答案:D4.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是()A.一条线段-2-B.一条直线C.一个圆D.一个圆,但要去掉两个点解析:∵平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC,AC⊂平面PAC,∴AC⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC,∴AC⊥BC.∴∠ACB=90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆,除去A和B两点.答案:D5.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,D是侧面PBC上的一点,过D作平面ABC的垂线DE,其中D∉PC,则DE与平面PAC的位置关系是.解析:∵DE⊥平面ABC,PA⊥平面ABC,∴DE∥PA.又DE⊄平面PAC,PA⊂平面PAC,∴DE∥平面PAC.答案:平行6.在三棱锥V-ABC中,当三条侧棱VA,VB,VC之间满足条件时,有VC⊥AB.(注:填上你认为正确的一种条件即可)解析:只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB;故只要VC⊥VA,VC⊥VB即可.答案:VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一,只要能保证VC⊥AB即可)7.已知α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题.解析:如图所示,由α⊥β,n⊥β,m⊥α,得m⊥n.由m⊥n,n⊥β,m⊥α,得α⊥β.-3-答案:②③④⇒①(或①③④⇒②)8.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分别是AP,AD的中点.求证:(1)直线EF∥平面PCD;(2)平面BEF⊥平面PAD.证明:(1)如图,在△PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EF∥PD.又EF⊄平面PCD,PD⊂平面PCD,所以直线EF∥平面PCD.(2)连接BD.因为AB=AD,∠BAD=60°,所以△ABD是正三角形.因为F是AD的中点,所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,BF⊂平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD.9.如图,已知平面α∩平面β=AB,PQ⊥α于点Q,PC⊥β于点C,CD⊥α于点D.求证:(1)P,C,D,Q四点共面.(2)QD⊥AB.-4-证明:(1)因为PQ⊥α,CD⊥α,所以PQ∥CD,于是P,C,D,Q四点共面.(2)因为AB⊂α,所以PQ⊥AB.又因为PC⊥β,AB⊂β,所以PC⊥AB.又因为PQ∩PC=P,设P,C,D,Q四点共面于γ,则AB⊥γ,又因为QD⊂γ,所以QD⊥AB.B组1.设有直线m,n和平面α,β.下列四个命题中,正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥βC.若α⊥β,m⊂α,则m⊥βD.若α⊥β,m⊥β,m⊄α,则m∥α解析:选项A中,m∥α,n∥α,m与n可能平行,可能相交,也可能异面;选项B中,m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,α与β可能平行,可能相交;选项C中,α⊥β,m⊂α,m与β可能垂直,可能斜交.答案:D2.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则点C1在平面ABC上的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC的内部解析:因为BC1⊥AC,AB⊥AC,BC1∩AB=B,-5-所以AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ABC1.又平面ABC∩平面ABC1=直线AB,所以过点C1再作C1H⊥平面ABC,则H∈AB,即点C1在平面ABC上的射影H在直线AB上.答案:A3.在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠PCA=90°,△ABC是边长为4的正三角形,PC=4,M是AB边上的一动点,则PM的最小值为()A.2B.2C.4D.4解析:连接CM,则由题意知PC⊥平面ABC,可得PC⊥CM,所以PM=,要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可,在△ABC中,当CM⊥AB时CM有最小值,此时有CM=4×=2,所以PM的最小值为2.答案:B4.如图,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,直线a⊂β,a⊥AB,则直线a与直线l的位置关系是.解析:∵EA⊥α,平面α∩平面β=l,即l⊂α,∴l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB=E,∴l⊥平面EAB.∵EB⊥β,a⊂平面β,∴EB⊥a.又a⊥AB,EB∩AB=B,∴a⊥平面EAB,∴a∥l.答案:平行-6-5.如图,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=,等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面ADB⊥平面ABC时,CD=.解析:取AB的中点E,连接DE,CE,因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC.可知DE⊥CE.由已知可得DE=,EC=1,在Rt△DEC中,CD==2.答案:26.如图,在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,且AB=AD,则AD与平面BCD所成的角是.解析:-7-过A作AO⊥BD于点O,∵平面ABD⊥平面BCD,∴AO⊥平面BCD,则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.∵∠BAD=90°,AB=AD,∴∠ADO=45°.答案:45°7.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证:AD⊥PB;(2)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论.(1)证明:设G为AD的中点,连接PG,BG,如图.∵△PAD为正三角形,∴PG⊥AD.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD的中点,∴BG⊥AD.又BG∩PG=G,∴AD⊥平面PGB.∵PB⊂平面PGB,∴AD⊥PB.(2)解:当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD.设F为PC的中点,连接GC交DE于H,连接FH.∵GB∥DE,且E为BC中点,∴H为GC中点.∴FH∥PG.由(1)知PG⊥平面ABCD,∴FH⊥平面ABCD.∵FH⊂平面DEF,-8-∴平面DEF⊥平面ABCD.8.如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E,F分别是AB,BC上的点,将△AED和△DCF折起,使A,C两点重合于点P.(1)求证:PD⊥EF;(2)当BE=BF=BC时,求四棱锥P-BEDF的体积.(1)证明:折起前AD⊥AE,CD⊥CF,折起后PD⊥PE,PD⊥PF.∵PE∩PF=P,∴PD⊥平面PEF.∵EF⊂平面PEF,∴PD⊥EF.(2)解:当BE=BF=BC时,由(1)可得PD⊥平面PEF,此时,EF=,S△BEF=,S△ADE=S△CDF=×3×4=6.△PFE的高为h1=,∴S△PEF=EF·h1=,∴VD-PEF=S△PEF·DP=×4=.∵S△DEF=S正方形ABCD-S△BEF-S△ADE-S△CDF=16--6-6=.设点P到平面BEDF的距离为h,则VP-DEF=S△DEF·h=h.∵VD-PEF=VP-DEF,∴h,解得h=,∴四棱锥P-BEDF的体积为VP-BEDF=(S△DEF+S△BEF)·h=.-9-