2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2.1 直线与圆的位置关系课件 新人教A版必修

-1-4.2直线、圆的位置关系-2-4.2.1直线与圆的位置关系首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习学习目标思维脉络1.知道直线与圆的位置关系.2.能根据方程判断直线和圆的位置关系.3.能够解决有关直线和圆的位置关系的问题.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数两个一个零个判定方法几何法:设圆心到直线的距离d=|Aa+Bb+C|A2+B2drd=rdr代数法:由Ax+By+C=0,(x-a)2+(y-b)2=r2消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ0Δ=0Δ0名师点拨判断直线与圆的关系有两种方法,一种是几何法,一种是代数法.只判断位置关系,不涉及交点坐标时,用几何法简单,若还需求交点坐标,则用代数法较好.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习做一做1直线3x+4y=5与圆x2+y2=16的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.相切或相交解析:圆心到直线的距离为d=532+42=14,所以直线与圆相交.答案:A做一做2过原点作圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线,切线方程为.解析:∵圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,∴圆与x轴、y轴都相切,∴所求切线方程为x=0或y=0.答案:x=0或y=0ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究一判断直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系反映在三个方面:一是点到直线的距离与半径大小的关系;二是直线与圆的公共点的个数;三是两方程组成的方程组解的个数.因此,若给出图形,可根据公共点的个数判断;若给出直线与圆的方程,可选择用几何法或代数法,几何法计算量小,代数法可一同求出交点.解题时可根据条件作出恰当的选择.典型例题1已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,直线与圆(1)有两个公共点;(2)只有一个公共点;(3)没有公共点.思路分析:可联立方程组,由方程组解的个数判断,也可求出圆心到直线的距离;通过与半径比较判断.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解法一:将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程,化简、整理得,(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.∵Δ=4m(3m+4),∴当Δ0,即m0或m-43时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点;当Δ=0,即m=0或m=-43时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点;当Δ0,即-43m0时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点.解法二:已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,即圆心为(2,1),半径r=2.圆心(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离d=|2𝑚-1-𝑚-1|1+𝑚2=|𝑚-2|1+𝑚2.当d2,即m0或m-43时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点;当d=2,即m=0或m=-43时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点;当d2,即-43m0时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四􀎥变式训练1􀎥当a为何值时,直线2x-y+1=0与圆x2+y2=a2(a0)相离、相切、相交?解:由圆x2+y2=a2(a0),知圆心为O(0,0),半径为a,O到直线2x-y+1=0的距离为d=122+12=55.(1)若直线与圆相离,则dr,即55a,∴0a55.(2)若直线与圆相切,则d=r,即a=55.(3)若直线与圆相交,则dr,即a55.综上所述,当0a55时,直线与圆相离;当a=55时,直线与圆相切;当a55时,直线与圆相交.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究二直线与圆相切直线与圆相切主要是求圆的切线方程.在求切线方程时,应先判定点与圆的位置关系,确定出切线的条数.(1)求过圆上一点P(x0,y0)的圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率k,则由垂直关系,切线斜率为-1𝑘,由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或斜率不存在,则由图形可直接得切线方程为y=b或x=a.(2)求过圆外一点P(x0,y0)的圆的切线时,常用几何方法求解:设切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,进而切线方程即可求出.但要注意,若求出的k值只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,可由数形结合求出.典型例题2过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程.思路分析:利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率,进而求出切线方程.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:因为(4-3)2+(-3-1)2=171,所以点A在圆外.(1)若所求切线的斜率存在,设切线斜率为k,则切线方程为y+3=k(x-4).因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径,半径为1,所以|3𝑘-1-3-4𝑘|𝑘2+1=1,即|k+4|=𝑘2+1,所以k2+8k+16=k2+1.解得k=-158.所以切线方程为y+3=-158(x-4),即15x+8y-36=0.(2)若直线斜率不存在,圆心C(3,1)到直线x=4的距离也为1,这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是x=4.综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四􀎥变式训练2􀎥求圆x2+y2=4的切线方程,使得它经过点Q(3,0).解:容易判断点Q(3,0)在圆外.设切线的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0.又圆的圆心为(0,0),半径为2,所以|-3𝑘|1+𝑘2=2,解得k=±255,所以所求切线方程为y=±255(x-3).ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究三直线与圆相交直线与圆相交,主要是弦长问题,弦长的求法有:(1)几何法:如图,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆半径为r,弦长为|AB|,则有|𝐴𝐵|22+d2=r2,即|AB|=2𝑟2-𝑑2.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四(2)代数法:如图,①联立直线方程和圆的方程,解方程组得A,B点坐标,再由两点间的距离公式求弦长|AB|;②设直线l的方程为y=kx+b,联立直线l的方程与圆的方程,消去一个未知数得一个一元二次方程,利用根与系数的关系求解.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1=kx1+b,y2=kx2+b.则|AB|=(𝑥1-𝑥2)2+(𝑦1-𝑦2)2=(𝑥1-𝑥2)2+(𝑘𝑥1+𝑏-𝑘𝑥2-𝑏)2=1+𝑘2·(𝑥1-𝑥2)2=1+𝑘2·(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2.以上两种方法,几何法比较简便,但涉及交点问题时,需用代数法.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四典型例题3过点(-4,0)作直线l与圆x2+y2+2x-4y-20=0交于A,B两点,若|AB|=8,求直线l的方程.思路分析:设出直线的斜率,写出直线的方程,利用弦心距、弦长、半径间的关系求出斜率,再由点斜式写出直线方程.解:将圆的方程配方得(x+1)2+(y-2)2=25.由圆的性质可得,圆心到直线l的距离d=(25)2-822=3.当l的斜率不存在时,x=-4满足题意.当l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x+4),即kx-y+4k=0.由点到直线的距离公式,得3=|-𝑘-2+4𝑘|1+𝑘2,解得k=-512.所以直线l的方程为5x+12y+20=0.综上所述,直线l的方程为x+4=0或5x+12y+20=0.温馨提示在需要设直线的斜率时,要注意斜率不存在的情况,否则容易漏解.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习􀎥变式训练3􀎥已知过点M(-3,-3)的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为45,求直线l的方程.解:将圆的方程写成标准形式,得x2+(y+2)2=25.若直线l斜率不存在,则直线方程为x=-3.圆心到该直线距离为3,又圆半径为5,所以求得弦长为8,不合题意,舍去.若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.圆心到直线l的距离为d=|3𝑘-1|1+𝑘2,则|3𝑘-1|1+𝑘22+(25)2=25.解得k=-12或k=2.所以所求直线的方程为y+3=-12(x+3)或y+3=2(x+3),即x+2y+9=0或2x-y+3=0.探究一探究二探究三探究四ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三探究四直线与圆位置关系的综合应用典型例题4已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P,Q两点,O为原点,且OP⊥OQ,求实数m的值.思路分析:设出P,Q的坐标,联立方程组,整体代入,由OP⊥OQ得出的坐标关系即可求出参数m的值.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三解:设点P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由OP⊥OQ,得kOP·kOQ=-1,即𝑦1𝑥1·𝑦2𝑥2=-1.∴x1x2+y1y2=0.①又∵(x1,y1),(x2,y2)是方程组𝑥+2𝑦-3=0,𝑥2+𝑦2+𝑥-6𝑦+𝑚=0的实数解,即x1,x2是方程5x2+10x+4m-27=0②的两个根.∴x1+x2=-2,x1x2=4𝑚-275.③∵P,Q在直线x+2y-3=0上,∴y1y2=12(3-x1)·12(3-x2)=14[9-3(x1+x2)+x1x2].④将③代入④,得y1y2=𝑚+125.⑤将③⑤代入①,解得m=3.将m=3代入方程②,检验Δ0成立,故m=3.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三方法总结解析几何中的直线与曲线相交的有关问题,常设出交点坐标,但不需要求出交点坐标,而直接利用根与系数的关系求解,从而避开求交点坐标的复杂计算.这种方法叫做“设而不求”.“设而不求”技巧的实质是:设交点坐标,但并不解出交点坐标,只要将它作为转化中的桥梁以达到求参数的目的,但应特别注意,运用这种技巧求得参数后,一定要检验Δ0,以保证直线与曲线有两个交点.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三􀎥变式训练4􀎥本例已知条件不变,求|PQ|.解:由例4,得当m=3时,x1x2=-3,故|PQ|=