2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（九）双曲线及其标准方程（含解析）新人教A版选修1-1

1课时跟踪检测（九）双曲线及其标准方程层级一学业水平达标1．已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是()A．双曲线B．双曲线的一支C．直线D．一条射线解析：选DF1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．2．椭圆x24＋y2a2＝1与双曲线x2a－y22＝1有相同的焦点，则a的值是()A.12B．1或－2C．1或12D．1解析：选D依题意知a0，0a24，4－a2＝a＋2，解得a＝1.3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()A．x2－y23＝1B.x23－y2＝1C．y2－x23＝1D.x22－y22＝1解析：选A由双曲线定义知，2a＝＋2＋32－－2＋32＝5－3＝2，∴a＝1.又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x2－y23＝1.4．“0≤k3”是“方程x2k＋1＋y2k－5＝1表示双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A∵0≤k3，∴k＋10，k－50，∴方程x2k＋1＋y2k－5＝1表示双曲线；反之，∵方程x2k＋1＋y2k－5＝1表示双曲线，2∴(k＋1)(k－5)0，解得－1k5.故“0≤k3”是“方程x2k＋1＋y2k－5＝1表示双曲线”的充分不必要条件．故选A.5．已知双曲线的中心在坐标原点，且一个焦点为F1(－5，0)，点P在该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的标准方程为()A.x24－y2＝1B．x2－y24＝1C.x22－y23＝1D.x23－y22＝1解析：选B设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则c＝5，即a2＋b2＝5.①设P(x，y)，由线段PF1的中点坐标为(0,2)，可知－5＋x2＝0，0＋y2＝2，得x＝5，y＝4，即点P的坐标为(5，4)，代入双曲线方程，得5a2－16b2＝1.②联立①②，得a2＝1，b2＝4，即双曲线的标准方程为x2－y24＝1.故选B.6．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线y2m－x29＝1的一个焦点，则m＝________.解析：由点F(0,5)可知该双曲线y2m－x29＝1的焦点落在y轴上，所以m0，且m＋9＝52，解得m＝16.答案：167．设点P在双曲线x29－y216＝1上，F1，F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于________．解析：由题意知|F1F2|＝29＋16＝10，||PF2|－|PF1||＝6，又|PF1|∶|PF2|＝1∶3，∴|PF1|＝3，|PF2|＝9，∴△F1PF2的周长为3＋9＋10＝22.答案：2238．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为________．解析：如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为a＋c＝32＋2＝72.答案：729．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a＝25，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；(2)与椭圆x227＋y236＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.解：(1)因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．由题设知，a＝25，且点A(2，－5)在双曲线上，所以a＝25，25a2－4b2＝1，解得a2＝20，b2＝16.故所求双曲线的标准方程为y220－x216＝1.(2)椭圆x227＋y236＝1的两个焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点为(15，4)(或(－15，4))．设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，则42a2－152b2＝1，a2＋b2＝32，解得a2＝4，b2＝5.故所求双曲线的标准方程为y24－x25＝1.10．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝63，试判断4△MF1F2的形状．解：(1)椭圆的方程可化为x29＋y24＝1，焦点在x轴上，且c＝9－4＝5.故可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．依题意得9a2－4b2＝1，a2＋b2＝5.解得a2＝3，b2＝2.故双曲线的标准方程为x23－y22＝1.(2)不妨设M在双曲线的右支上，则有|MF1|－|MF2|＝23.又|MF1|＋|MF2|＝63，解得|MF1|＝43，|MF2|＝23.又|F1F2|＝2c＝25，因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，由余弦定理可得cos∠MF2F1＝|MF2|2＋|F1F2|2－|MF1|22|MF2|·|F1F2|＝32＋52－322×23×25＝－2150.所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2是钝角三角形．层级二应试能力达标1．已知F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a分别为3和5时，点P的轨迹分别为()A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条射线D．双曲线的一支和一条直线解析：选C依题意，得|F1F2|＝10.当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝2a＝6|F1F2|，可知点P的轨迹为双曲线的右支；当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝2a＝10＝|F1F2|，可知点P的轨迹为以F2为端点的一条射线．故选C.2．已知双曲线过点P1－2，352和P2473，4，则双曲线的标准方程为()5A.x29－y216＝1B.y29－x216＝1C.x216－y29＝1D.y216－x29＝1解析：选B因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn0)．因为P1－2，352，P2473，4两点在双曲线上，所以4m＋454n＝1，1129m＋16n＝1，解得m＝－116，n＝19，于是所求双曲线的标准方程为y29－x216＝1.3．设椭圆C1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()A.x216－y29＝1B.x2169－y225＝1C.x29－y216＝1D.x2169－y2144＝1解析：选A对于椭圆C1，∵长轴长2a1＝26，∴a1＝13，又离心率e1＝c1a1＝513，∴c1＝5.由题意知曲线C2为双曲线，且与椭圆C1共焦点，∴c2＝5，又2a2＝8，∴a2＝4，b2＝c22－a22＝3.又焦点在x轴上，故双曲线C2的标准方程为x216－y29＝1.故选A.4．设F1，F2是双曲线x23－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，PF1―→·PF2―→的值为()A．2B．3C．4D．6解析：选B设点P(x0，y0)，依题意得|F1F2|＝23＋1＝4，S△F1PF2＝12|F1F2|·|y0|＝2，∴|y0|＝1.6又x203－y20＝1，∴x20＝3(y20＋1)＝6.∴PF1―→·PF2―→＝(－2－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝x20＋y20－4＝3.5．已知双曲线x225－y29＝1的两个焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P到F1的距离为12，则点P到F2的距离为________．解析：设F1为左焦点，F2为右焦点，当点P在双曲线的左支上时，|PF2|－|PF1|＝10，所以|PF2|＝22；当点P在双曲线的右支上时，|PF1|－|PF2|＝10，所以|PF2|＝2.答案：22或26．过双曲线x2144－y225＝1的一个焦点作x轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦点的距离分别为________．解析：因为双曲线方程为x2144－y225＝1，所以c＝144＋25＝13，设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，则F1(－13,0)，F2(13,0)．设过F1且垂直于x轴的直线l交双曲线于A(－13，y)(y0)，则y225＝132144－1＝25144，所以y＝2512，即|AF1|＝2512.又|AF2|－|AF1|＝2a＝24，所以|AF2|＝24＋2512＝31312.即所求距离分别为2512，31312.答案：2512，313127．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sinB－sinA＝12sinC.(1)求线段AB的长度；(2)求顶点C的轨迹方程．解：(1)将椭圆方程化为标准形式为x25＋y2＝1.∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，则A(－2,0)，B(2,0)，|AB|＝4.(2)∵sinB－sinA＝12sinC，7∴由正弦定理得|CA|－|CB|＝12|AB|＝2|AB|＝4，即动点C到两定点A，B的距离之差为定值．∴动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c＝2，a＝1，∴所求的点C的轨迹方程为x2－y23＝1(x1)．8．设圆C与两圆(x＋5)2＋y2＝4，(x－5)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求C的圆心轨迹L的方程；(2)已知点M355，455，F(5，0)，且P为L上动点．求||MP|－|FP||的最大值．解：(1)两圆的圆心分别为A(－5，0)，B(5，0)，半径为2，设圆C的半径为r.由题意得|CA|＝r－2，|CB|＝r＋2或|CA|＝r＋2，|CB|＝r－2，两式相减得|CA|－|CB|＝－4或|CA|－|CB|＝4，即||CA|－|CB||＝4.则圆C的圆心轨迹为双曲线，其中2a＝4，c＝5，b2＝1，∴圆C的圆心轨迹L的方程为x24－y2＝1.(2)由(1)知F为双曲线L的一个焦点，如图，连接MF并延长交双曲线于一点P，此时|PM|－|PF|＝|MF|为||PM|－|FP||的最大值．又|MF|＝355－52＋4552＝2，∴||MP|－|FP||的最大值为2.8