2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（十）椭圆的参数方程（含解析）新人教A版选修4-4

1课时跟踪检测(十)椭圆的参数方程一、选择题1．椭圆x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ＝()A．πB.π2C．2πD.32π解析：选A∵在点(－a,0)中，x＝－a，∴－a＝acosθ，∴cosθ＝－1，∴θ＝π.2．参数方程x＝2cosθ，y＝sinθ(θ为参数)和极坐标方程ρ＝－6cosθ所表示的图形分别是()A．圆和直线B．直线和直线C．椭圆和直线D．椭圆和圆解析：选D对于参数方程x＝2cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，利用同角三角函数关系消去θ化为普通方程为x24＋y2＝1，表示椭圆．ρ＝－6cosθ两边同乘ρ，得ρ2＝－6ρcosθ，化为普通方程为x2＋y2＝－6x，即(x＋3)2＋y2＝9.表示以(－3,0)为圆心，3为半径的圆．3．椭圆x＝4cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)的左焦点的坐标是()A．(－7，0)B．(0，7)C．(－5,0)D．(－4,0)解析：选A根据题意，椭圆的参数方程x＝4cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)化成普通方程为x216＋y29＝1，其中a＝4，b＝3，则c＝16－9＝7，所以椭圆的左焦点坐标为(－7，0)．24．两条曲线的参数方程分别是x＝cos2θ－1，y＝1＋sin2θ(θ为参数)和x＝3cost，y＝2sint(t为参数)，则其交点个数为()A．0B．1C．0或1D．2解析：选B由x＝cos2θ－1，y＝1＋sin2θ，得x＋y－1＝0(－1≤x≤0，1≤y≤2)，由x＝3cost，y＝2sint得x29＋y24＝1.如图所示，可知两曲线交点有1个．二、填空题5．椭圆x＝5cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)的离心率为________．解析：由椭圆方程为x225＋y216＝1，可知a＝5，b＝4，∴c＝a2－b2＝3，∴e＝ca＝35.答案：356．已知P为曲线C：x＝3cosθ，y＝4sinθ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点，O为坐标原点，若直线OP的倾斜角为π4，则点P的坐标为________．解析：曲线C的普通方程为y216＋x29＝1(0≤y≤4)，易知直线OP的斜率为1，其方程为y＝x，联立y＝x，y216＋x29＝1，消去y，得x2＝16×925，故x＝125x＝－125舍去，故y＝125，所以点P的坐标为125，125.3答案：125，1257．已知椭圆的参数方程为x＝2cosφ，y＝4sinφ(φ为参数)，点M在椭圆上，对应的参数φ＝π3，点O为原点，则直线OM的斜率为________．解析：当φ＝π3时，x＝2cosπ3＝1，y＝4sinπ3＝23，故点M的坐标为(1,23)．所以直线OM的斜率为23.答案：23三、解答题8．已知两曲线的参数方程分别为x＝5cosθ，y＝sinθ(0≤θπ)和x＝54t2，y＝t(t∈R)，求它们的交点坐标．解：将x＝5cosθy＝sinθ(0≤θ＜π)化为普通方程得：x25＋y2＝1(0≤y≤1，x≠－5)，将x＝54t2，y＝t代入得，516t4＋t2－1＝0，解得t2＝45，∴t＝255，x＝54t2＝54×45＝1，∴两曲线的交点坐标为1，255.9．已知椭圆的参数方程为x＝3cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)，求椭圆上一点P到直线x＝2－3t，y＝2＋2t(t为参数)的最短距离．解：设点P(3cosθ，2sinθ)，直线x＝2－3t，y＝2＋2t可化为2x＋3y－10＝0，点P到直线的距离d＝|6cosθ＋6sinθ－10|13＝62sinθ＋π4－1013.因为sinθ＋π4∈4[－1,1]，所以d∈10－6213，10＋6213，所以点P到直线的最短距离dmin＝10－6213.10．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与x轴正半轴交于点A，若这个椭圆上总存在点P，使OP⊥AP(O为原点)，求离心率e的取值范围．解：设椭圆的参数方程是x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数)(a＞b＞0)，则椭圆上的点P(acosθ，bsinθ)，A(a,0)．∵OP⊥AP，∴bsinθacosθ·bsinθacosθ－a＝－1，即(a2－b2)cos2θ－a2cosθ＋b2＝0.解得cosθ＝b2a2－b2或cosθ＝1(舍去)．∵a＞b，－1≤cosθ≤1，∴0＜b2a2－b2≤1.把b2＝a2－c2代入得0＜a2－c2c2≤1.即0＜1e2－1≤1，解得22≤e＜1.故椭圆的离心率e的取值范围为22，1.