2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（四）圆的极坐标方程（含解析）新人教A版选修4-4

1课时跟踪检测(四)圆的极坐标方程一、选择题1．极坐标方程ρ＝sinθ＋cosθ表示的曲线是()A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线解析：选B极坐标方程ρ＝sinθ＋cosθ即ρ2＝ρ·(sinθ＋cosθ)，化为直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，配方得x－122＋y－122＝12，表示的曲线是以12，12为圆心，22为半径的圆．故选B.2．如图，极坐标方程ρ＝2sinθ＋π4的图形是()解析：选C圆ρ＝2sinθ＋π4是由圆ρ＝2sinθ绕极点按顺时针方程旋转π4而得，圆心的极坐标为1，π4，故选C.3．在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是()A.1，π2B.1，－π2C．(1,0)D．(1，π)解析：选B由ρ＝－2sinθ得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为1，－π2.故选B.4．在极坐标系中，点2，π3到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为()A．2B.4＋π29C.1＋π29D.3解析：选D极坐标系中的点2，π3化为平面直角坐标系中的点为(1，3)，极坐标系中的圆ρ＝2cosθ化为平面直角坐标系中的圆为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，其圆心为(1,0)．所求两点间的距离为－2＋3－2＝3.故选D.2二、填空题5．把圆的普通方程x2＋(y－2)2＝4化为极坐标方程为________．解析：圆的方程x2＋(y－2)2＝4化为一般方程为x2＋y2－4y＝0，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsinθ＝0，即ρ＝4sinθ.答案：ρ＝4sinθ6．曲线C的极坐标方程为ρ＝3sinθ，则曲线C的直角坐标方程为________．解析：由ρ＝3sinθ，得ρ2＝3ρsinθ，故x2＋y2＝3y，即所求方程为x2＋y2－3y＝0.答案：x2＋y2－3y＝07．在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cosθ于A，B两点，则|AB|＝________.解析：由题意知，直线方程为x＝3，曲线方程为(x－2)2＋y2＝4，将x＝3代入圆的方程，得y＝±3，则|AB|＝23.答案：23三、解答题8．把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．(1)x2＋y2＋2x＝0；(2)ρ＝cosθ－2sinθ；(3)ρ2＝cos2θ.解：(1)∵x2＋y2＋2x＝0，∴ρ2＋2ρcosθ＝0，∴ρ＝－2cosθ.(2)∵ρ＝cosθ－2sinθ，∴ρ2＝ρcosθ－2ρsinθ，∴x2＋y2＝x－2y，即x2＋y2－x＋2y＝0.(3)∵ρ2＝cos2θ，∴ρ4＝ρ2cos2θ＝(ρcosθ)2∴(x2＋y2)2＝x2，即x2＋y2＝x或x2＋y2＝－x.9．过极点O作圆C：ρ＝8cosθ的弦ON，求弦ON的中点M的轨迹方程．解：法一(代入法)：设点M(ρ，θ)，N(ρ1，θ1)．因为点N在圆ρ＝8cosθ上，所以ρ1＝8cosθ1.因为点M是ON的中点，所以ρ1＝2ρ，θ1＝θ，所以2ρ＝8cosθ，所以ρ＝4cosθ.所以点M的轨迹方程是ρ＝4cosθ点0，π2除外.3法二(定义法)：如图，圆C的圆心C(4,0)，半径r＝|OC|＝4，连接CM.因为M为弦ON的中点，所以CM⊥ON.故M在以OC为直径的圆上，所以动点M的轨迹方程是ρ＝4cosθ点0，π2除外.10．若圆C的方程是ρ＝2asinθ，求：(1)关于极轴对称的圆的极坐标方程；(2)关于直线θ＝3π4对称的圆的极坐标方程．解：法一：设所求圆上任意一点M的极坐标为(ρ，θ)．(1)点M(ρ，θ)关于极轴对称的点为(ρ，－θ)，代入圆C的方程ρ＝2asinθ，得ρ＝2asin(－θ)，即ρ＝－2asinθ为所求．(2)点M(ρ，θ)关于直线θ＝3π4对称的点为ρ，3π2－θ，代入圆C的方程ρ＝2asinθ，得ρ＝2asin3π2－θ，即ρ＝－2acosθ为所求．法二：由圆的极坐标方程ρ＝2asinθ得ρ2＝2ρasinθ，利用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ＝x2＋y2，化为直角坐标方程为x2＋y2＝2ay，即x2＋(y－a)2＝a2，故圆心为C(0，a)，半径为|a|.(1)关于极轴对称的圆的圆心为(0，－a)，圆的方程为x2＋(y＋a)2＝a2，即x2＋y2＝－2ay，所以ρ2＝－2ρasinθ，故ρ＝－2asinθ为所求．(2)由θ＝3π4得tanθ＝－1，故直线θ＝3π4的直角坐标方程为y＝－x.圆x2＋(y－a)2＝a2关于直线y＝－x对称的圆的方程为(－y)2＋(－x－a)2＝a2，即(x＋a)2＋y2＝a2，于是x2＋y2＝－2ax，所以ρ2＝－2ρacosθ.故此圆的极坐标方程为ρ＝－2acosθ.4