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1课时跟踪训练(九)椭圆的几何性质1.(新课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为________.2.(广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于12,则C的方程是________________________________________________________________________.3.曲线x225+y29=1与曲线x225-k+y29-k=1(k9)的________相等.(填“长轴长”或“短轴长”或“离心率”或“焦距”)4.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率是63,过椭圆上一点M作直线MA,MB分别交椭圆于A,B两点,且斜率分别为k1,k2,若点A,B关于原点对称,则k1·k2的值为________.5.设F1,F2是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=3a2上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率是________.6.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率e=35,经过点A(532,-2),求椭圆的标准方程.7.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m0)的离心率e=32,求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.28.若椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,点P是椭圆上的一点,P在x轴上的射影恰为椭圆的左焦点,P与中心O的连线平行于右顶点与上顶点的连线,且左焦点与左顶点的距离等于10-5,试求椭圆的离心率及其方程.答案1.解析:法一:由题意可设|PF2|=m,结合条件可知|PF1|=2m,|F1F2|=3m,故离心率e=ca=2c2a=|F1F2||PF1|+|PF2|=3m2m+m=33.法二:由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c,将x=c代入椭圆方程可解得y=±b2a,所以|PF2|=b2a.又由∠PF1F2=30°可得|F1F2|=3|PF2|,故2c=3·b2a,变形可得3(a2-c2)=2ac,等式两边同除以a2,得3(1-e2)=2e,解得e=33或e=-3(舍去).答案:332.解析:依题意,设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),所以c=1,ca=12,c2=a2-b2,解得a2=4,b2=3.答案:x24+y23=13.解析:c2=25-k-(9-k)=16,c=4.故两条曲线有相同的焦距.答案:焦距4.解析:设点M(x,y),A(x1,y1),B(-x1,-y1),则y2=b2-b2x2a2,y21=b2-b2x21a2.所以k1·k2=y-y1x-x1·y+y1x+x1=y2-y21x2-x21=-b2a2=c2a2-1=e2-1=-13,即k1·k2的值为-13.3答案:-135.解析:设直线x=3a2与x轴交于点M,则∠PF2M=60°.由题意知,F1F2=PF2=2c,F2M=3a2-c.在Rt△PF2M中,F2M=12PF2,即3a2-c=c.∴e=ca=34.答案:346.解:设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则754a2+4b2=1.①由已知e=35,∴ca=35,∴c=35a.∴b2=a2-c2=a2-(35a)2,即b2=1625a2.②把②代入①,得754a2+4×2516a2=1,解得a2=25,∴b2=16,∴所求方程为x225+y216=1.7.解:椭圆方程可化为x2m+y2mm+3=1,由m0,易知mmm+3,∴a2=m,b2=mm+3.∴c=a2-b2=mm+m+3.由e=32,得m+2m+3=32,解得m=1,∴椭圆的标准方程为x2+y214=1.∴a=1,b=12,c=32.∴椭圆的长轴长为2,短轴长为1,两焦点坐标分别为F1-32,0,F232,0,4顶点坐标分别为A1(-1,0),A2(1,0),B10,-12,B20,12.8.解:令x=-c,代入x2a2+y2b2=1(a>b>0),得y2=b2(1-c2a2)=b4a2,∴y=±b2a.设P(-c,b2a),椭圆的右顶点A(a,0),上顶点B(0,b).∵OP∥AB,∴kOP=kAB,∴-b2ac=-ba,∴b=c.而a2=b2+c2=2c2,∴a=2c,∴e=ca=22.又∵a-c=10-5,解得a=10,c=5,∴b=5,∴所求椭圆的标准方程为x210+y25=1.
本文标题:2018-2019学年高中数学 课时跟踪训练(九)椭圆的几何性质(含解析)苏教版选修2-1
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