2018-2019学年高中数学 阶段质量检测（二）（含解析）新人教A版选修4-5

1阶段质量检测(二)(时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用分析法证明不等式的推论过程一定是()A．正向、逆向均可进行正确的推理B．只能进行逆向推理C．只能进行正向推理D．有时能正向推理，有时能逆向推理解析：选B在用分析法证明不等式时，是从求证的不等式出发，逐步探索使结论成立的充分条件即可，故只需进行逆向推理即可．2．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x0)，则a与b的大小关系是()A．abB．abC．a＝bD．a≤b解析：选B∵a＝lg2＋lg5＝1，b＝ex(x0)，故b1，∴ab.3．已知a，b，c，d为实数，ab＞0，－ca＜－db，则下列不等式中成立的是()A．bc＜adB．bc＞adC.ac＞bdD.ac＜bd解析：选B将－ca＜－db两边同乘以正数ab，得－bc＜－ad，所以bc＞ad.4．已知x10，x1≠1，且xn＋1＝xnx2n＋3x2n＋1(n∈N*)，试证“数列{xn}对任意正整数n都满足xnxn＋1，或者对任意正整数n都满足xnxn＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为()A．对任意的正整数n，都有xn＝xn＋1B．存在正整数n，使xnxn＋1C．存在正整数n(n≥2)，使xn≥xn＋1且xn≤xn－1D．存在正整数n(n≥2)，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0解析：选D命题的结论是等价于“数列{xn}是递增数列或是递减数列”，其反设是“数列既不是递增数列，也不是递减数列”，由此可知选D.5．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根2C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：选A至少有一个实根的否定是没有实根，故做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．6．使不等式3＋8＞1＋a成立的正整数a的最大值为()A．10B．11C．12D．13解析：选C用分析法可证a＝12时不等式成立，a＝13时不等式不成立．7．已知a，b，c，d∈R＋且S＝aa＋b＋c＋bb＋c＋d＋cc＋d＋a＋da＋b＋d，则下列判断中正确的是()A．0S1B．1S2C．2S3D．3S4解析：选B用放缩法，aa＋b＋c＋daa＋b＋caa＋c，ba＋b＋c＋dbb＋c＋dbd＋b，ca＋b＋c＋dcc＋d＋acc＋a，da＋b＋c＋ddd＋a＋bdd＋b，以上四个不等式相加，得1S2.8．已知a，b为非零实数，则使不等式ab＋ba≤－2成立的一个充分不必要条件是()A．ab＞0B．ab＜0C．a＞0，b＜0D．a＞0，b＞0解析：选C因为ab与ba同号，由ab＋ba≤－2，知ab＜0，ba＜0，即ab＜0.又若ab＜0，则ab＜0，ba＜0，所以ab＋ba＝－－ab＋－ba≤－2－ab·－ba＝－2，综上，ab＜0是ab＋ba≤－2成立的充要条件，所以a＞0，b＜0是ab＋ba≤－2成立的一个充分不必要条件．39．已知a0，b0，c0，且a2＋b2＝c2，则an＋bn与cn的大小关系为(n≥3，n∈N＋)()A．an＋bncnB．an＋bncnC．an＋bn≥cnD．an＋bn＝cn解析：选B因为a2＋b2＝c2，所以ac2＋bc2＝1.所以acnac2，bcnbc2，所以acn＋bcnac2＋bc2＝1.所以an＋bncn.故选B.10．若α∈π，5π4，M＝|sinα|，N＝|cosα|，P＝12|sinα＋cosα|，Q＝12sin2α，则它们之间的大小关系为()A．MNPQB．MPNQC．MPQND．NPQM解析：选D∵α∈π，5π4，∴0sinαcosα.∴|sinα||cosα|，∴P＝12|sinα＋cosα|＝12(|sinα|＋|cosα|)12(|sinα|＋|sinα|)＝|sinα|＝M.P＝12|sinα|＋|cosα|12(|cosα|＋|cosα|)＝|cosα|＝N.∴NPM.∵Q＝12sin2α＝sinαcosα|sinα|＋|cosα|2＝P，Q＝sinαcosαsin2α＝|sinα|＝M，∴NPQM.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．用反证法证明“在△ABC中，若∠A是直角，则∠B一定是锐角”时，应假设________________．解析：“∠B一定是锐角”的否定是“∠B不是锐角”．答案：∠B不是锐角12．如果aa＋bbab＋ba，则实数a，b应满足的条件是________．解析：由a知a≥0，b知b≥0，而aa＋bb≠ab＋ba，知b≠a.此时aa＋bb4－(ab＋ba)＝(a－b)2(a＋b)0，不等式成立．故实数a，b应满足的条件是a≥0，b≥0，a≠b.答案：a≥0，b≥0，a≠b13．已知a＋b0，则ab2＋ba2与1a＋1b的大小关系是________．解析：ab2＋ba2－1a＋1b＝a－bb2＋b－aa2＝(a－b)1b2－1a2＝a＋ba－b2a2b2.∵a＋b0，(a－b)2≥0，∴a＋ba－b2a2b2≥0.∴ab2＋ba2≥1a＋1b.答案：ab2＋ba2≥1a＋1b14．设0mnab，函数y＝f(x)在R上是减函数，下列四个数fba，fab，fb－ma－m，fa＋nb＋n的大小顺序依次是____________．解析：∵aba＋nb＋n1bab－ma－m，根据函数的单调性，知fabfa＋nb＋nfbafb－ma－m.答案：fabfa＋nb＋nfbafb－ma－m三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设|a|＜1，|b|＜1，求证：|a＋b|＋|a－b|＜2.证明：当a＋b与a－b同号时，|a＋b|＋|a－b|＝|a＋b＋a－b|＝2|a|＜2；当a＋b与a－b异号时，|a＋b|＋|a－b|＝|a＋b－(a－b)|＝2|b|＜2.∴|a＋b|＋|a－b|＜2.16．(本小题满分12分)已知：在△ABC中，∠CAB90°，D是BC的中点，求证：AD12BC(如右图所示)．证明：假设AD≥12BC.5(1)若AD＝12BC，由平面几何中定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么，这条边所对的角为直角”，知∠A＝90°，与题设矛盾．所以AD≠12BC.(2)若AD12BC，因为BD＝DC＝12BC，所以在△ABD中，ADBD，从而∠B∠BAD.同理∠C∠CAD.所以∠B＋∠C∠BAD＋∠CAD.即∠B＋∠C∠A.因为∠B＋∠C＝180°－∠A，所以180°－∠A∠A即∠A＜90°，与已知矛盾，故AD＞12BC不成立．由(1)(2)知AD＜12BC成立．17．(本小题满分12分)求证：1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n3.证明：由11×2×3×…×k11×2×2×…×2＝12k－1(k是大于2的自然数)，得1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n1＋1＋12＋122＋123＋…＋12n－1＝1＋1－12n1－12＝3－12n－13.18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|.(1)求f(x)的最小值m；(2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝m，求证：b2a＋c2b＋a2c≥3.解：(1)当x－1时，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x∈(3，＋∞)；当－1≤x2时，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3,6)；当x≥2时，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x∈[6，＋∞)．综上，f(x)的最小值m＝3.(2)证明：a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝3，6因为b2a＋c2b＋a2c＋(a＋b＋c)＝b2a＋a＋c2b＋b＋a2c＋c≥2b2a·a＋c2b·b＋a2c·c＝2(a＋b＋c)，当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号，所以b2a＋c2b＋a2c≥a＋b＋c，即b2a＋c2b＋a2c≥3.7