XXXX1125数学专业知识应考策略(晓庄学院)

数学专业知识应考策略专题讲座高考数学应答策略数学专业知识应考策略专题讲座一、真题赏析二、认知策略(整体认识)：主干知识——梳理网络；应用平台——突出方法；反刍认识——展示能力．三、解题策略(宏观认识)要干嘛？怎么干？有什么？能干嘛？数学专业知识应考策略专题讲座二、认知策略：主干知识——梳理网络；应用平台——突出方法；反刍认识——展示能力．以函数为例，主线的呈现(333、连续与离散)；思想方法的渗透；单调性的证明；最值的求法(单调性与基本不等式)；值域的确定(反函数、方程)；形式化与模式化．数学专业知识应考策略专题讲座•如何求函数的定义域与值域；•函数与方程的转换有什么价值；•三角函数的诱导公式引出的对称关系；•解析几何中的函数思想(映射、对等问题)；•线性组合的广泛应用；•立体几何证明中的三段论；•数列中的差分；•次数平衡的合理化运用．数学专业知识应考策略专题讲座1．常见的求函数定义域的模型：(1)f(x)＝1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；(2)f(x)＝x的定义域为[0，＋∞)；(3)f(x)＝logax的定义域为(0，＋∞)；(4)f(x)＝tanx的定义域为{x|x∈(2k－π2，2k＋π2)，k∈Z}．数学专业知识应考策略专题讲座2．求证：(1)函数y＝2x＋1的值域是R；(2)函数y＝x2＋1的值域是区间[1，＋∞)；(3)函数y＝1x＋1的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．解(1)方法一对任意的x∈R，都有y＝2x＋1∈R，且对任意的y∈R，都存在x＝y－12∈R，使得y＝2x＋1，所以函数y＝2x＋1的值域为R．方法二对任意的x∈R，都有y＝2x＋1∈R，且对任意的M∈R，当x＞M－12时，y＞M；当x＜M－12时，y＜M．所以函数y＝2x＋1的值域为R．数学专业知识应考策略专题讲座(2)对任意的x∈R，都有y＝x2＋1≥1，且对任意的y∈[1，＋∞)，都存在x＝y－1，使得x2＋1＝y，所以函数y＝x2＋1的值域是区间[1，＋∞)．(3)对任意的x∈R，x≠－1，都有y＝1x＋1≠0，且对任意的y∈R，y≠0，都有x＝1y－1，使得1x＋1＝y，所以函数y＝1x＋1的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．数学专业知识应考策略专题讲座3．若函数g(x)＝12m(x－1)2－x＋1＋lnx的图象与x轴有唯一的公共点，求正数m的值．解g′(x)＝m(x－1)－1＋1x＝mx2－(m＋1)x＋1x＝(x－1)(mx－1)x(x＞0)．当x＝1或1m时，g′(x)＝0．①若0＜m＜1，则当0＜x＜1或x＞1m时，g′(x)＞0；当1＜x＜1m时，g′(x)＜0，所以g(x)在区间(0，1]和[1m，＋∞)上单调增，在区间[1，1m]上单调减．因为g(1)＝0，所以g(1m)＜0，又当x＞1＋2m时，12m(x－1)2－x＋1＝12(x－1)[m(x－1)－2]＞0，lnx＞0，从而g(x)＞0，所以曲线y＝g(x)与x轴有两个交点．故0＜m＜1不合题意．数学专业知识应考策略专题讲座②若m＝1，则g′(x)≥0，当且仅当x＝1时，g′(x)＝0，所以g(x)在区间(0，＋∞)上为增函数，且g(1)＝0，故m＝1符合题意．③若m＞1，则当0＜x＜1m或x＞1时，g′(x)＞0；当1m＜x＜1时，g′(x)＜0，所以g(x)在区间(0，1m]和[1，＋∞)上均单调增，在区间[1m，1]上单调减．因为g(1)＝0，所以g(1m)＞0．又当0＜x＜min{1m，e－12m－1}时，12m(x－1)2－x＋1＜12m(x－1)2＋1＜1＋12m，且lnx＜－12m－1，从而g(x)＜0，所以曲线y＝g(x)与x轴有两个交点．故m＞1不合题意．综上，实数m的值为m＝1．数学专业知识应考策略专题讲座4．若函数f(x)分别满足下列条件，则f(x)有什么性质？(1)f(x＋1)＝f(x)；(2)f(x＋1)＝－f(x)；(3)f(x＋1)＝1f(x)；(4)f(x＋1)＝－1f(x)；(5)f(1＋x)＝f(1－x)；(6)f(1＋x)＝－f(1－x)．例若函数f(x)分别满足下列条件，则f(x)是周期函数吗？(1)对任意的x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)，且f(2＋x)＝f(2－x)；(2)对任意的x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)，且f(2＋x)＝－f(2－x)．数学专业知识应考策略专题讲座三、解题策略(一)解题分析(宏观认识)：要干嘛？怎么干？有什么？能干嘛？•这是一个什么问题？它要求(证)的是什么？——什么范畴的问题？——求(证)什么?•一般怎么做？有哪些工具(模型、法则)？•现有哪些材料？——题设中的条件和模型•如何运用这些条件和工具？——利用这些条件、模型能得到什么？•还需哪些工具？还缺少什么材料？——能否从现有的材料和工具中找到？•是否还有条件没有利用？如何利用？•这些材料(原有的、发现的)和结论有什么关系？数学专业知识应考策略专题讲座问题1设函数f(x)＝a3x3＋bx2＋cx(a，b，c∈R，a≠0)．(1)若函数f(x)为奇函数，求b的值；要干嘛——求b的值；怎么干——建立b的方程；有什么——f(x)为奇函数；能干嘛——f(－x)＝－f(x)，f(0)＝－f(0)，f(－1)＝－f(1)，…什么范畴内的问题？建立方程的依据；建立方程的载体；可利用的工具数学专业知识应考策略专题讲座这些思考——不是文字的简单浏览．这是深究——对象的意义、性质、关系．这是化归——能否转换为其它的意义、关系．这些思考并不是孤立进行的．这些思考贯穿在上述所有问题的思考之中．这是用于着手解题的最基本的思考方法．如何深究？如何化归?数学专业知识应考策略专题讲座•它是什么？如何表示？还能如何表示？(转换)•它有什么性质？如何表示？还能如何表示？•它们有什么关系？如何表示？还能如何表示？•由条件能够推出什么？还能推出什么？•中途推出的结论间有什么关系？如何利用？•是否与某个解过的题有联系(方法、形式)？•能否利用这些联系(联想、类比、对应)？如何深究——题意深究如何化归——形式转换数学专业知识应考策略专题讲座问题2设等差数列{an}的各项均不为零，其前n项和为Sn，且满足：对任意的n∈N*，都有a2n＝S2n－1，求an．d2n2＋2d(a1－d)n＋(a1－d)2＝2dn2＋(2a1－3d)n＋d－a1，要干嘛——求an；怎么干——求公差a1，d；有什么——an与Sn的关系能干嘛——an，Sn的表达式，建立关于n的恒等式:a2n＝S2n－1．a21＝S1，a22＝S3，…an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋n(n－1)d2．a2n＋1－a2n＝S2n＋1－S2n－1＝a2n＋1－a2n．数学专业知识应考策略专题讲座d2n2＋2d(a1－d)n＋(a1－d)2＝2dn2＋(2a1－3d)n＋d－a1，所以d2＝2d，2d(a1－d)＝2a1－3d，(a1－d)2＝d－a1，因为a1≠0，所以d＝2，a1＝1．解得d＝0，a1＝0或d＝2，a1＝1．问题2设等差数列{an}的各项均不为零，其前n项和为Sn，且满足：对任意的n∈N*，都有a2n＝S2n－1，求an．所以an＝2n－1．思路一数学专业知识应考策略专题讲座由a1＝S1＝a21，解得a1＝0或1；由S3＝a22，得3a2＝a22，解得a2＝0或3．所以an＝0或2n－1或3n－3或－n＋1．因为数列{an}的各项均不为0，所以an＝2n－1．经检验，当an＝2n－1时，满足S2n－1＝a2n．所以an＝2n－1．a21＝S1，a22＝S3，…问题2设等差数列{an}的各项均不为零，其前n项和为Sn，且满足：对任意的n∈N*，都有a2n＝S2n－1，求an．思路二数学专业知识应考策略专题讲座a2n＋1－a2n＝S2n＋1－S2n－1＝a2n＋1＋a2n．即d(an＋1＋an)＝a2n＋1＋a2n．①所以d(an＋2＋an＋1)＝a2n＋3＋a2n＋2．②由②－①，得d·2d＝4d．因为d≠0，所以d＝2．由a1＝S1＝a21，结合a1≠0，解得a1＝1．所以an＝2n－1．问题2设等差数列{an}的各项均不为零，其前n项和为Sn，且满足：对任意的n∈N*，都有a2n＝S2n－1，求an．思路三数学专业知识应考策略专题讲座a2n＋1－a2n＝S2n＋1－S2n－1＝a2n＋1＋a2n．即d(an＋1＋an)＝a2n＋1＋a2n．所以d(an＋2＋an＋1)＝a2n＋3＋a2n＋2．所以d[2a1＋(2n－1)d]＝2a1＋(4n－1)d．即2d2n＋d(2a1－d)＝4dn＋2a1－d．因为d≠0，所以d＝2，a1＝1．所以an＝2n－1．所以2d2＝4d，d(2a1－d)＝2a1－d，解得d＝0，a1＝0或d＝2，a1＝1．问题2设等差数列{an}的各项均不为零，其前n项和为Sn，且满足：对任意的n∈N*，都有a2n＝S2n－1，求an．思路四数学专业知识应考策略专题讲座要寻找解题思路，就要学会和掌握寻找有效的指导思维操作的策略．寻找有效的指导思维操作的策略，必须要有有效的指导思维操作的程序．制定有有效的指导思维操作的程序，要关注问题中的启发性提示语．数学专业知识应考策略专题讲座问题3如图所示，四棱锥P－ABCD中，PA⊥面ABCD，AC⊥CD，∠DAC＝60°，AB＝BC＝AC，E，F分别是线段PD，ED的中点．求证：CF∥平面ABE．CFEABDP要干嘛——证明CF∥平面ABE；怎么干——在平面ABE内找一条CF的平行线；怎么干——面面平行的性质定理；怎么干——过CF的平面与平面ABE的交线；有什么——PA⊥面ABCD，AC⊥CD，∠DAC＝60°，AB＝BC＝AC，E，F分别是PD，ED的中点．能干嘛——……，数学专业知识应考策略专题讲座思路1过CF，BC的平面BCF．GCFEABDP怎么干——过CF的平面与平面ABE的交线．要干嘛——证明：BG//CF．怎么干——证明：四边形BCFG是平行四边形．有什么——PA⊥面ABCD，AC⊥CD，∠DAC＝60°，AB＝BC＝AC，E，F分别是PD，ED的中点．能干嘛——要干嘛——有什么——∠DAC＝∠BCA＝60°．G是AE的中点，FG＝∥12AD；△ABC是正三角形；Rt△ACD中，AD＝2AC；证明：BC＝∥12AD．数学专业知识应考策略专题讲座思路2过CF，CD(PD)的平面CDE．HCFEABDP怎么干——过CF的平面与平面ABE的交线．要干嘛——证明FC//EH．有什么——PA⊥面ABCD，AC⊥CD，∠DAC＝60°，AB＝BC＝AC，E，F分别是PD，ED的中点．能干嘛——要干嘛——证明C是HD的中点．有什么——∠DAC＝∠BCA＝60°．能干嘛——BC//AD．G是AE的中点，FG＝∥12AD；△ABC是正三角形；Rt△ACD中，AD＝2AC；数学专业知识应考策略专题讲座CFEABDP思路3过CF构造与平面CDE平行的平面．K还能怎么干——过CF的平面与平面ABE不相交．要干嘛——取AD的中点K，证明：平面FKC//EAB．有什么——PA⊥面ABCD，AC⊥CD，∠DAC＝60°，AB＝BC＝AC，E，F分别是PD，ED的中点．能干嘛——要干嘛——证明CK∥AD．怎么干——证明四边形ABCK是平行四边形．怎么干——证明BC∥AK．有什么——∠DAC＝∠BCA＝60°．能干嘛——BC//AD．FK∥AE；AK＝AC＝BC；思维操作的策略：线面平行的性质和面面平行的性质为证明线面平行指明了方向(问题中的启发性提示语)．数学专业知识应考策略专题讲座(1)要干嘛——求p，q之间的关系；什么问题——函数、不等式；怎么干——建立p，q的方程；能干嘛——g(x)是以p，q为参数的函数；有什么——g(e)关于p，q的表达式；怎么干——利用Fubini原理(算两次)；问题4设f(x)＝lnx，g(x)＝px－qx－2f(x)，且g(e)＝qe－pe－2