您好,欢迎访问三七文档
课时作业20数学归纳法的原理知识点一数学归纳法的原理1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N*),第一步验证()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4答案C解析由题知,n的最小值为3,所以第一步验证n=3是否成立.2.已知f(n)=1n+1n+1+1n+2+…+1n2,则()A.f(n)共有n项,当n=2时,f(2)=12+13B.f(n)共有n+1项,当n=2时,f(2)=12+13+14C.f(n)共有n2-n项,当n=2时,f(2)=12+13D.f(n)共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=12+13+14答案D解析结合f(n)中各项的特征可知,分子均为1,分母为n,n+1,…,n2的连续自然数共有n2-n+1个,且f(2)=12+13+14.3.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=n4+n22,则当n=k+1(n∈N*)时,等式左边应在n=k的基础上加上()A.k2+1B.(k+1)2C.k+4+k+22D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2答案D解析当n=k时,等式左边=1+2+…+k2,当n=k+1时,等式左边=1+2+…+k2+(k2+1)+…+(k+1)2,故选D.4.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-12+13-14+…+1n-1=21n+2+1n+4+…+12n时,若已假设n=k(k≥2为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证()A.n=k+1时等式成立B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立答案B解析因为假设n=k(k≥2为偶数),故下一个偶数为k+2,故选B.知识点二用数学归纳法证明命题5.用数学归纳法证明:1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2(其中n∈N*).证明(1)当n=1时,左边=1×4=4,右边=1×22=4,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2.那么当n=k+1时,1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2,即当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N*都成立.6.用数学归纳法证明:1+4+7+…+(3n-2)=12n(3n-1)(n∈N*).证明(1)当n=1时,左边=1,右边=1,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1+4+7+…+(3k-2)=12k(3k-1).那么当n=k+1时,1+4+7+…+(3k-2)+[3(k+1)-2]=12k(3k-1)+(3k+1)=12(3k2+5k+2)=12(k+1)(3k+2)=12(k+1)[3(k+1)-1],即当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N*都成立.一、选择题1.证明“n+22<1+12+13+14+…+12n<n+1(n>1)”,当n=2时,中间的式子为()A.1B.1+12C.1+12+13D.1+12+13+14答案D解析当n=2时,中间的式子为1+12+13+122=1+12+13+14.故选D.2.我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数n的命题时,在由“n=k时论断成立⇒n=k+1时论断也成立”的过程中()A.必须运用假设B.n可以部分地运用假设C.可不用假设D.应视情况灵活处理,A、B、C均可答案A解析由“n=k时论断成立⇒n=k+1时论断也成立”的过程中必须运用假设.3.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”,那么,下列命题总成立的是()A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立B.若f(5)≥25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)<k2成立D.若f(4)=25成立,则当k≥4时,均为f(k)≥k2成立答案D解析对于A,若f(3)≥9成立,由题意只可得出当k≥3时,均有f(k)≥k2成立,故A错;对于B,若f(5)≥25成立,则当k≥5时均有f(k)≥k2成立,故B错;对于C,应改为“若f(7)≥49成立,则当k≥7时,均有f(k)≥k2成立”.4.已知命题1+2+22+…+2n-1=2n-1及其证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,所以等式成立.(2)假设n=k(k≥1,k∈N*)时等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1成立,则当n=k+1时,1+2+22+…+2k-1+2k=1-2k+11-2=2k+1-1,所以n=k+1时等式也成立.由(1)(2)知,对任意的正整数n等式都成立.判断以上评述()A.命题、推理都正确B.命题正确、推理不正确C.命题不正确、推理正确D.命题、推理都不正确答案B解析推理不正确,错在证明n=k+1时,没有用到假设n=k的结论,命题由等比数列求和公式知正确,故选B.5.已知一个命题p(k),k=2n(n∈N*),若当n=1,2,…,1000时,p(k)成立,且当n=1001时也成立,则下列判断中正确的是()A.p(k)对k=2004成立B.p(k)对每一个自然数k都成立C.p(k)对每一个正偶数k都成立D.p(k)对某些偶数可能不成立答案D解析由题意,知p(k)对k=2,4,6,…,2002成立,当k取其他值时不能确定p(k)是否成立.故选D.二、填空题6.用数学归纳法证明1+12+13+…+12n-1n(n∈N,且n1),第一步要证的不等式是________.答案1+12+132解析当n=2时,左边为1+12+122-1=1+12+13,右边为2.故应填1+12+132.7.若存在常数a,b,使等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=nn+n+12(an+b)对n∈N*都成立,则a、b的值分别为________、________.答案35解析因为存在常数a、b,使等式对所有的正整数都成立,所以当n=1,2时等式都成立,所以得a+b=8,2a+b=11,解得a=3,b=5.8.用数学归纳法证明不等式“1n+1+1n+2+…+1n+n>1324”的过程中,由n=k推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是________.答案1k+k+解析本题主要考查数学归纳法中从k到k+1的递推关系.不等式的左边增加的式子是12k+1+12k+2-1k+1=1k+k+.三、解答题9.用数学归纳法证明:1-131-141-15…1-1n+2=2n+2(n∈N*).证明(1)当n=1时,左边=1-13=23,右边=21+2=23,故等式成立.(2)假设n=k(k≥1,k∈N*)等式成立,即1-131-141-15·…·1-1k+2=2k+2.当n=k+1时,1-131-141-15·…·1-1k+21-1k+3=2k+21-1k+3=k+k+k+=2k+3,故当n=k+1时等式成立.由(1)(2)可知对于n∈N*等式都成立.10.已知Sn=1+12+13+…+1n(n1,n∈N*),求证:S2n1+n2(n≥2,n∈N*).证明(1)当n=2时,S2n=1+12+13+14=25121+22,即当n=2时命题成立.(2)设当n=k(k≥2)时命题成立,即S2k=1+12+13+…+12k1+k2,当n=k+1时,S2k+1=1+12+13+…+12k+12k+1+…+12k+11++k2+2k2k+2k=1+k2+12=1+k+12,故当n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)可知,当n∈N*,n≥2时,不等式S2n1+n2都成立.
本文标题:2019-2020学年高中数学 2.3.1 数学归纳法的原理课时作业(含解析)新人教A版选修2-2
链接地址:https://www.777doc.com/doc-7974811 .html