2019-2020学年高中数学 2.3.1 数学归纳法的原理课时作业（含解析）新人教A版选修2-2

课时作业20数学归纳法的原理知识点一数学归纳法的原理1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步验证()A．n＝1B．n＝2C．n＝3D．n＝4答案C解析由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．2．已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则()A．f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13B．f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14C．f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13D．f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14答案D解析结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，…，n2的连续自然数共有n2－n＋1个，且f(2)＝12＋13＋14.3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22，则当n＝k＋1(n∈N*)时，等式左边应在n＝k的基础上加上()A．k2＋1B．(k＋1)2C.k＋4＋k＋22D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2答案D解析当n＝k时，等式左边＝1＋2＋…＋k2，当n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，故选D.4．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n－1＝21n＋2＋1n＋4＋…＋12n时，若已假设n＝k(k≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证()A．n＝k＋1时等式成立B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立D．n＝2(k＋2)时等式成立答案B解析因为假设n＝k(k≥2为偶数)，故下一个偶数为k＋2，故选B.知识点二用数学归纳法证明命题5.用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N*)．证明(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2.那么当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．6．用数学归纳法证明：1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝12n(3n－1)(n∈N*)．证明(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋4＋7＋…＋(3k－2)＝12k(3k－1)．那么当n＝k＋1时，1＋4＋7＋…＋(3k－2)＋[3(k＋1)－2]＝12k(3k－1)＋(3k＋1)＝12(3k2＋5k＋2)＝12(k＋1)(3k＋2)＝12(k＋1)[3(k＋1)－1]，即当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．一、选择题1．证明“n＋22＜1＋12＋13＋14＋…＋12n＜n＋1(n＞1)”，当n＝2时，中间的式子为()A．1B．1＋12C．1＋12＋13D．1＋12＋13＋14答案D解析当n＝2时，中间的式子为1＋12＋13＋122＝1＋12＋13＋14.故选D.2．我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数n的命题时，在由“n＝k时论断成立⇒n＝k＋1时论断也成立”的过程中()A．必须运用假设B．n可以部分地运用假设C．可不用假设D．应视情况灵活处理，A、B、C均可答案A解析由“n＝k时论断成立⇒n＝k＋1时论断也成立”的过程中必须运用假设．3．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是()A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)＜49成立，则当k≥8时，均有f(k)＜k2成立D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均为f(k)≥k2成立答案D解析对于A，若f(3)≥9成立，由题意只可得出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错；对于B，若f(5)≥25成立，则当k≥5时均有f(k)≥k2成立，故B错；对于C，应改为“若f(7)≥49成立，则当k≥7时，均有f(k)≥k2成立”．4．已知命题1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1及其证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1成立，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝1－2k＋11－2＝2k＋1－1，所以n＝k＋1时等式也成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n等式都成立．判断以上评述()A．命题、推理都正确B．命题正确、推理不正确C．命题不正确、推理正确D．命题、推理都不正确答案B解析推理不正确，错在证明n＝k＋1时，没有用到假设n＝k的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B.5．已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1,2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时也成立，则下列判断中正确的是()A．p(k)对k＝2004成立B．p(k)对每一个自然数k都成立C．p(k)对每一个正偶数k都成立D．p(k)对某些偶数可能不成立答案D解析由题意，知p(k)对k＝2,4,6，…，2002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立．故选D.二、填空题6．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1n(n∈N，且n1)，第一步要证的不等式是________．答案1＋12＋132解析当n＝2时，左边为1＋12＋122－1＝1＋12＋13，右边为2.故应填1＋12＋132.7．若存在常数a，b，使等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝nn＋n＋12(an＋b)对n∈N*都成立，则a、b的值分别为________、________.答案35解析因为存在常数a、b，使等式对所有的正整数都成立，所以当n＝1,2时等式都成立，所以得a＋b＝8,2a＋b＝11，解得a＝3，b＝5.8．用数学归纳法证明不等式“1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n＞1324”的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________．答案1k＋k＋解析本题主要考查数学归纳法中从k到k＋1的递推关系．不等式的左边增加的式子是12k＋1＋12k＋2－1k＋1＝1k＋k＋.三、解答题9．用数学归纳法证明：1－131－141－15…1－1n＋2＝2n＋2(n∈N*)．证明(1)当n＝1时，左边＝1－13＝23，右边＝21＋2＝23，故等式成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)等式成立，即1－131－141－15·…·1－1k＋2＝2k＋2.当n＝k＋1时，1－131－141－15·…·1－1k＋21－1k＋3＝2k＋21－1k＋3＝k＋k＋k＋＝2k＋3，故当n＝k＋1时等式成立．由(1)(2)可知对于n∈N*等式都成立．10．已知Sn＝1＋12＋13＋…＋1n(n1，n∈N*)，求证：S2n1＋n2(n≥2，n∈N*)．证明(1)当n＝2时，S2n＝1＋12＋13＋14＝25121＋22，即当n＝2时命题成立．(2)设当n＝k(k≥2)时命题成立，即S2k＝1＋12＋13＋…＋12k1＋k2，当n＝k＋1时，S2k＋1＝1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋11＋＋k2＋2k2k＋2k＝1＋k2＋12＝1＋k＋12，故当n＝k＋1时，命题也成立．由(1)(2)可知，当n∈N*，n≥2时，不等式S2n1＋n2都成立．