2019-2020学年高中数学 3.3.3 函数的最大（小）值与导数课时作业（含解析）新人教A版选修

课时作业29函数的最大(小)值与导数知识点一函数最值的概念1.设f(x)是[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是()A．f(x)的极值点一定是最值点B．f(x)的最值点一定是极值点C．f(x)在此区间上可能没有极值点D．f(x)在此区间上可能没有最值点答案C解析根据函数的极值与最值的概念判断知选项A，B，D都不正确，只有选项C正确．2．函数f(x)＝2x－cosx在(－∞，＋∞)上()A．无最值B．有极值C．有最大值D．有最小值答案A解析f′(x)＝2＋sinx0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(x)在(－∞，＋∞)上无最值．知识点二求函数的最值3.函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是()A．5，－15B．5，－4C．－4，－15D．5，－16答案A解析∵f′(x)＝6x2－6x－12＝6(x＋1)(x－2)，令f′(x)＝0，则x＝2或x＝－1(舍)．又f(2)＝－15，f(0)＝5，f(3)＝－4，故选A.4．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________.答案20解析∵f′(x)＝3x2－3，∴当x1或x－1时f′(x)0，当－1x1时，f′(x)0.∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增．∴f(x)min＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n.又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0)f(3)．∴f(x)max＝f(3)＝18－a＝m.∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.5．求下列各函数的最值．(1)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]；(2)f(x)＝5－36x＋3x2＋4x3，x∈(－2,2)．解(1)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；x＝1时，f(x)最大值＝2.即f(x)的最小值为－12，最大值为2.(2)f′(x)＝－36＋6x＋12x2，令f′(x)＝0，即12x2＋6x－36＝0，解得x1＝32，x2＝－2(舍去)．当x∈－2，32时，f′(x)0，函数单调递减；当x∈32，2时，f′(x)0，函数单调递增．∴函数f(x)在x＝32时取得极小值f32＝－2834，无极大值，即在(－2,2)上函数f(x)的最小值为－2834.易错点对“存在型”和“任意性”认识不到位6.已知函数f(x)＝x2＋2x，g(x)＝12x－m，若∀x1∈[1,2]，∃x2∈[－1,1]使f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．易错分析误解“任意性”与“存在型”的关系．实际上本题是双变量恒成立问题，对于这类问题有如下结论：记区间D1，D2分别是函数y＝f(x)，y＝g(x)定义域的子区间．双变量的恒成立与能成立问题包含以下四种基本类型：类型1∀x1∈D1，∀x2∈D2，f(x1)g(x2)⇔f(x)ming(x)max.其等价转化的基本思想是：函数y＝f(x)的任一函数值均大于函数y＝g(x)的任一函数值，只需f(x)ming(x)max即可．同理有：∀x1∈D1，∀x2∈D2，f(x1)g(x2)⇔f(x)maxg(x)min.类型2∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)g(x2)⇔f(x)ming(x)min.其等价转化的基本思想是：函数y＝f(x)的任一函数值大于函数y＝g(x)的某些函数值，但并不要求大于y＝g(x)的所有函数值，故只需f(x)ming(x)min即可．类型3∃x1∈D1，∀x2∈D2，f(x1)g(x2)⇔f(x)maxg(x)max.其等价转化的基本思想是：函数y＝f(x)的某些函数值大于函数y＝g(x)的任一函数值，只要求y＝f(x)有函数值大于y＝g(x)的函数值即可，故只需f(x)maxg(x)max即可．类型4∃x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)g(x2)⇔f(x)maxg(x)min.其等价转化的基本思想是：函数y＝f(x)的某些函数值大于函数y＝g(x)的某些函数值，都只要求有这样的函数值，不要求所有的函数值，故只需f(x)maxg(x)min.同理有：∃x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)g(x2)⇔f(x)ming(x)max.答案m≥－52解析由∀x1∈[1,2]，∃x2∈[－1,1]使f(x1)≥g(x2)知，只需f(x)min≥g(x)min.因为f′(x)＝x3－x2，x∈[1,2]，所以f′(x)≥0，f(x)在[1,2]上为增函数，f(x)min＝f(1)＝3.又在[－1,1]上g(x)min＝g(1)＝12－m，所以12－m≤3，即m≥－52.一、选择题1．函数f(x)＝2x＋1x，x∈(0,5]的最小值为()A．2B．3C.174D．22＋12答案B解析由f′(x)＝1x－1x2＝x32－1x2＝0，得x＝1，且x∈(0,1]时，f′(x)0；x∈(1,5]时，f′(x)0，∴x＝1时，f(x)最小，最小值为f(1)＝3.2．函数f(x)＝13x3－2x2在区间[－1,5]上()A．有最大值0，无最小值B．有最大值0，最小值－323C．有最小值－323，无最大值D．既无最大值也无最小值答案B解析f′(x)＝x2－4x＝x(x－4)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4，而f(0)＝0，f(4)＝－323，f(－1)＝－73，f(5)＝－253，∴f(x)max＝f(0)＝0，f(x)min＝f(4)＝－323.3．函数y＝x－sinx，x∈π2，π的最大值是()A．π－1B.π2－1C．πD．π＋1答案C解析y′＝1－cosx≥0，所以y＝x－sinx在π2，π上为增函数．当x＝π时，ymax＝π.4．函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0,2]上的最大值是3，则a的值为()A．3B．1C．2D．－1答案B解析f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，解得x＝－13(舍去)或x＝1，又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，则f(2)最大，即a＋2＝3，所以a＝1.二、填空题5．若F(x)＝x－2lnx＋2a，则F(x)在(0，＋∞)上的最小值是________．答案2＋2a－2ln2解析令F′(x)＝1－2x＝x－2x＝0，得x＝2.当x∈(0,2)时，F′(x)0，当x∈(2，＋∞)时，F′(x)0，∴当x＝2时，F(x)min＝F(2)＝2－2ln2＋2a.6．设函数f(x)＝12x2ex，若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)m恒成立，则实数m的取值范围是________．答案(－∞，0)解析f′(x)＝xex＋12x2ex＝ex2·x(x＋2)，由f′(x)＝0得x＝0或x＝－2.当x∈[－2,2]时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x－2(－2,0)0(0,2)2f′(x)0－0＋f(x)递减递增∴当x＝0时，f(x)min＝f(0)＝0，要使f(x)m对x∈[－2,2]恒成立，只需mf(x)min，∴m0.7．函数f(x)＝12ex(sinx＋cosx)，x∈[0,1]的值域为__________．答案12，12＋解析当0≤x≤1时，f′(x)＝12ex(sinx＋cosx)＋12ex(cosx－sinx)＝excosx0，所以f(x)在[0,1]上单调递增，则f(0)≤f(x)≤f(1)，即函数f(x)的值域为12，12＋.三、解答题8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋2，且f(x)的导函数f′(x)的图象关于直线x＝1对称．(1)求导函数f′(x)及实数a的值；(2)求函数y＝f(x)在[－1,2]上的最大值和最小值．解(1)由f(x)＝x3＋ax2＋2得：f′(x)＝3x2＋2ax.∵f′(x)的图象关于直线x＝1对称，∴－a3＝1.∴a＝－3，f′(x)＝3x2－6x.(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2＋2，f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝2.当x在[－1,2]上变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1,0)0(0,2)2f′(x)＋0－0f(x)－22－2由上表可知，当x＝－1或x＝2时，函数有最小值－2，当x＝0时，函数有最大值2.9．若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值是－29，求a，b的值．解f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)．令f′(x)＝0，得x＝0，x＝4.∵x∈[－1,2]，∴x＝0.由题意知a≠0.①若a0，则f(x)，f′(x)随x变化的情况如下表：x(－1,0)0(0,2)f′(x)＋0－f(x)单调递增最大值3单调递减∴当x＝0时，f(x)取最大值，∴b＝3.又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3f(2)，∴当x＝2时，f(x)取最小值，－16a＋3＝－29，∴a＝2.②若a0，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(－1,0)0(0,2)f′(x)－0＋f(x)单调递减最小值－29单调递增∴当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝b＝－29.又f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29f(2)，∴当x＝2时，f(x)取最大值，即－16a－29＝3，∴a＝－2.综上：a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.