2019-2020学年高中数学 2019年数学高考真题 新人教A版选修2-2

2019年数学高考真题剖析解读高考全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷都是教育部按照普通高考考试大纲统一命题，适用于不同省份的考生．虽然难度上会有一些差异，但在试卷结构、命题方向上基本都是相同的．试题稳中求新、稳中求变．与往年相比，三角、数列、立体几何、圆锥曲线、函数与导数等依然是考查的重点，注重基础知识，凸显主干知识．试卷结构、题型保持一致，各题型所占分值与分值分布没有变化，试题顺序有较大变化，考查方式有所改变，难度明显增加，客观题与去年的难度相当，主观题难易梯度明显增加，解决了区分度低的诟病．今年试题立足学科素养，落实关键能力，加强数学应用，渗透数学文化．以真实情境为载体，贴近生活，联系社会实际，注重能力考查，增强综合性、应用性，在各部分内容的布局和考查难度上都进行了调整和改变，这在一定程度上有助于考查学生灵活应变的能力和主动调整适应的能力，有助于学生全面学习掌握重点知识和重点内容，同时有助于打破考试题的僵硬化，更好地提升学生的综合分析能力，打破了传统的应试教育．全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷对选修2－2推理与证明、数系的扩充与复数的引入的考查，相对来说比较常规、难度不大、变化小、综合性低，属于基础类必得分试题；对导数及其应用的考查，难度大、综合性强、运算能力要求高、得分比较困难，主要考查导数的计算、几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点、不等式等．其他省市试题和全国卷类似，难度相当．要想学好这部分知识不仅要有扎实的基础知识、基本能力，还要注意一些数学思想的培养，比如分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想等！下面列出了2019年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及各地区对选修2－2所考查的全部试题，请同学们根据所学知识，测试自己的能力，寻找自己的差距，把握高考的方向，认清命题的趋势！(说明：有些试题带有综合性，是与以后要学的内容的小综合试题，同学们可根据目前所学习的内容，有选择性地试做！)穿越自测一、选择题1．(2019·全国卷Ⅰ，理2)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x＋1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1答案C解析由已知条件，可得z＝x＋yi.∵|z－i|＝1，∴|x＋yi－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.2．(2019·全国卷Ⅱ，理2)设z＝－3＋2i，则在复平面内z－对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案C解析z－＝－3－2i，故z－对应的点(－3，－2)位于第三象限．故选C.3．(2019·全国卷Ⅲ，理2)若z(1＋i)＝2i，则z＝()A．－1－iB．－1＋iC．1－iD．1＋i答案D解析由z(1＋i)＝2i，得z＝2i1＋i＝2i1－i1＋i1－i＝2i1－i2＝i(1－i)＝1＋i.故选D.4．(2019·北京高考，理1)已知复数z＝2＋i，则z·z－＝()A.3B.5C．3D．5答案D解析解法一：∵z＝2＋i，∴z－＝2－i，∴z·z－＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D.解法二：∵z＝2＋i，∴z·z－＝|z|2＝5.故选D.5．(2019·全国卷Ⅲ，理6)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1D．a＝e－1，b＝－1答案D解析y′＝aex＋lnx＋1，k＝y′|x＝1＝ae＋1，∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1.又∵切线方程为y＝2x＋b，∴ae＋1＝2，b＝－1，即a＝e－1，b＝－1.故选D.6．(2019·天津高考，理8)已知a∈R，设函数f(x)＝x2－2ax＋2a，x≤1，x－alnx，x1.若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为()A．[0,1]B．[0,2]C．[0，e]D．[1，e]答案C解析当x≤1时，由f(x)＝x2－2ax＋2a≥0恒成立，而二次函数f(x)图象的对称轴为直线x＝a，所以当a≥1时，f(x)min＝f(1)＝10恒成立，当a1时，f(x)min＝f(a)＝2a－a2≥0，∴0≤a1.综上，a≥0.当x1时，由f(x)＝x－alnx≥0恒成立，即a≤xlnx恒成立．设g(x)＝xlnx，则g′(x)＝lnx－1lnx2.令g′(x)＝0，得x＝e，且当1xe时，g′(x)0，当xe时，g′(x)0，所以g(x)min＝g(e)＝e，∴a≤e.综上，a的取值范围是0≤a≤e，即[0，e]．故选C.7．(2019·浙江高考，9)设a，b∈R，函数f(x)＝x，x0，13x3－12a＋1x2＋ax，x≥0.若函数y＝f(x)－ax－b恰有3个零点，则()A．a－1，b0B．a－1，b0C．a－1，b0D．a－1，b0答案C解析由题意，b＝f(x)－ax＝1－ax，x0，13x3－12a＋1x2，x≥0.设y＝b，g(x)＝1－ax，x0，13x3－12a＋1x2，x≥0.即以上两个函数的图象恰有3个交点，根据选项进行讨论．①当a－1时，1－a0，可知g(x)在(－∞，0)上单调递增；由g′(x)＝x2－(a＋1)x＝x[x－(a＋1)](x≥0)，a＋10，可知g(x)在(0，＋∞)上单调递增．此时直线y＝b与g(x)的图象只有1个交点，不符合题意，故排除A，B.②当a－1，即a＋10时，因为g′(x)＝x[x－(a＋1)](x≥0)，所以当x≥0时，由g′(x)0可得0xa＋1，所以当x≥0时，g(x)在(0，a＋1)上单调递减，g(x)在(a＋1，＋∞)上单调递增．如图，y＝b与y＝g(x)(x≥0)的图象至多有2个交点．当1－a0，即－1a1时，由图象可得，若要y＝g(x)与y＝b的图象有3个交点，必有b0；当1－a＝0时，y＝g(x)与y＝b的图象可以有1个、2个或无数个交点，但不存在恰有3个交点的情况，不符合题意，舍去；当1－a0，即a1时，y＝g(x)与y＝b的图象可以有1个或2个交点，但不存在恰有3个交点的情况，不符合题意，舍去．综上，－1a1，b0.故选C.二、填空题8．(2019·全国卷Ⅰ，理13)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．答案y＝3x解析y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，∴斜率k＝e0×3＝3，∴切线方程为y＝3x.9．(2019·天津高考，理9)i是虚数单位，则5－i1＋i的值为________．答案13解析∵5－i1＋i＝5－i1－i1＋i1－i＝2－3i，∴5－i1＋i＝|2－3i|＝13.10．(2019·浙江高考，11)复数z＝11＋i(i为虚数单位)，则|z|＝________.答案22解析z＝11＋i＝1－i1＋i1－i＝1－i1－i2＝12－12i，易得|z|＝122＋－122＝22.11．(2019·江苏高考，2)已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．答案2解析(a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，因为其实部为0，故a＝2.12．(2019·江苏高考，11)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．答案(e,1)解析设A(m，n)，则曲线y＝lnx在点A处的切线方程为y－n＝1m(x－m)．又切线过点(－e，－1)，所以有n＋1＝1m(m＋e)．再由n＝lnm，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为(e,1)．三、解答题13．(2019·全国卷Ⅰ，理20)已知函数f(x)＝sinx－ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数．证明：(1)f′(x)在区间－1，π2存在唯一极大值点；(2)f(x)有且仅有2个零点．证明(1)设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cosx－11＋x，g′(x)＝－sinx＋11＋x2.当x∈－1，π2时，g′(x)单调递减，而g′(0)＞0，g′π2＜0，可得g′(x)在－1，π2有唯一零点，设为α.则当x∈(－1，α)时，g′(x)＞0；当x∈α，π2时，g′(x)＜0.所以g(x)在(－1，α)单调递增，在α，π2单调递减，故g(x)在－1，π2存在唯一极大值点，即f′(x)在－1，π2存在唯一极大值点．(2)f(x)的定义域为(－1，＋∞)．①当x∈(－1,0]时，由(1)知，f′(x)在(－1,0)单调递增，而f′(0)＝0，所以当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－1,0)单调递减．又f(0)＝0，从而x＝0是f(x)在(－1,0]的唯一零点．②当x∈0，π2时，由(1)知，f′(x)在(0，α)单调递增，在α，π2单调递减，而f′(0)＝0，f′π2＜0，所以存在β∈α，π2，使得f′(β)＝0，且当x∈(0，β)时，f′(x)＞0；当x∈β，π2时，f′(x)＜0.故f(x)在(0，β)单调递增，在β，π2单调递减．又f(0)＝0，fπ2＝1－ln1＋π2＞0，所以当x∈0，π2时，f(x)＞0.从而，f(x)在0，π2没有零点．③当x∈π2，π时，f′(x)＜0，所以f(x)在π2，π单调递减．而fπ2＞0，f(π)＜0，所以f(x)在π2，π有唯一零点．④当x∈(π，＋∞)时，ln(x＋1)＞1.所以f(x)＜0，从而f(x)在(π，＋∞)没有零点．综上，f(x)有且仅有2个零点．14．(2019·全国卷Ⅱ，理20)已知函数f(x)＝lnx－x＋1x－1.(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；(2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y＝lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线y＝ex的切线．解(1)f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．因为f′(x)＝1x＋2x－120，所以f(x)在(0,1)，(1，＋∞)单调递增．因为f(e)＝1－e＋1e－10，f(e2)＝2－e2＋1e2－1＝e2－3e2－10，所以f(x)在(1，＋∞)有唯一零点x1(ex1e2)，即f(x1)＝0.又01x11，f1x1＝－lnx1＋x1＋1x1－1＝－f(x1)＝0，故f(x)在(0,1)有唯一零点1x1.综上，f(x)有且仅有两个零点．(2)证明：因为1x0＝e－lnx0，所以点B－lnx0，1x0在曲线y＝ex上．由题设知f(x0)＝0，即lnx0＝x0＋1x0－1，故直线AB的斜率k＝1x0－lnx0－lnx0－x0＝1x0－x0＋1x0－1－x0＋1x0－1－x0＝1x0.曲线y＝ex在点B－lnx0，1x0处切线的斜率是1x0，曲线y＝lnx在点A(x0，lnx0)处切线的斜率也是1x0，所以曲线y＝lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线y＝ex的切线．15．(2019·全国卷Ⅲ，理20)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．解(1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a3.若a0，则当x∈(－∞，0)∪a3，＋∞时，f′(x)0；当x∈0，a3时，f