2019-2020学年高中数学 穿越自测（含解析）新人教A版选修2-3

穿越自测一、选择题1．[2017·全国卷Ⅰ·理6，本题考查了二项式定理，考查了学生运算求解能力]1＋1x2(1＋x)6展开式中x2的系数为()A．15B．20C．30D．35答案C解析因为(1＋x)6的通项为Cr6xr，所以1＋1x2(1＋x)6展开式中含x2的项为1·C26x2和1x2·C46x4.因为C26＋C46＝2C26＝2×6×52×1＝30，所以1＋1x2(1＋x)6展开式中x2的系数为30.故选C.2．[2017·全国卷Ⅱ·理6，本题考查了排列组合的知识，考查了学生分析求解能力]安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种答案D解析由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C13·C24·A22＝36(种)，或列式为C13·C24·C12＝3×4×32×2＝36(种)．故选D.3．[2017·全国卷Ⅲ·理4，本题考查了二项式定理](x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为()A．－80B．－40C．40D．80答案C解析因为x3y3＝x·(x2y3)，其系数为－C35·22＝－40，x3y3＝y·(x3y2)，其系数为C25·23＝80.所以x3y3的系数为80－40＝40.故选C.4．[2017·山东高考·理5，本题考查了线性回归方程的相关知识，考查了运算求解能力]为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系．设其回归直线方程为y^＝b^x＋a^.已知i＝110xi＝225，i＝110yi＝1600，b^＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为()A．160B．163C．166D．170答案C解析∵i＝110xi＝225，∴x＝110i＝110xi＝22.5.∵i＝110yi＝1600，∴y＝110i＝110yi＝160.又b^＝4，∴a^＝y－b^x＝160－4×22.5＝70.∴回归直线方程为y^＝4x＋70.将x＝24代入上式得y^＝4×24＋70＝166.故选C.5．[2017·山东高考·理8，本题考查了古典概型概率的计算]从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A.518B.49C.59D.79答案C解析解法一：∵9张卡片中有5张奇数卡片，4张偶数卡片，且为不放回地随机抽取，∴P(第一次抽到奇数，第二次抽到偶数)＝59×48＝518，P(第一次抽到偶数，第二次抽到奇数)＝49×58＝518.∴P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝518＋518＝59.故选C.解法二：依题意，得P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝5×4C29＝59.故选C.6．[2017·浙江高考·理8，本题考查了两点分布的数学期望和方差的计算，考查了运算求解能力，构造函数思想]已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.若0＜p1＜p2＜12，则()A．E(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)D(ξ2)B．E(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)D(ξ2)C．E(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)D(ξ2)D．E(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)D(ξ2)答案A解析由题意可知ξi(i＝1,2)服从两点分布，∴E(ξ1)＝p1，E(ξ2)＝p2，D(ξ1)＝p1(1－p1)，D(ξ2)＝p2(1－p2)．又∵0p1p212，∴E(ξ1)E(ξ2)．把方差看作函数y＝x(1－x)，根据0ξ1ξ212知，D(ξ1)D(ξ2)．故选A.二、填空题7．[2017·全国卷Ⅱ·理13，本题考查了二项分布的知识]一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.答案1.96解析由题意得X～B(100,0.02)，∴D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.8．[2017·天津高考·理14，本题考查了排列组合相关知识]用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)答案1080解析①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C35·C14·A44＝960.②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A45＝120.故符合题意的四位数一共有960＋120＝1080(个)．9．[2017·山东高考·理11，本题考查了二项式定理的相关知识]已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________.答案4解析(1＋3x)n的展开式的通项为Tr＋1＝Crn(3x)r.令r＝2，得T3＝9C2nx2.由题意得9C2n＝54，解得n＝4.10．[2017·浙江高考·理13，本题考查了二项式定理]已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________.答案164解析a4是x项的系数，由二项式的展开式得a4＝C33·C12·2＋C23·C22·22＝16；a5是常数项，由二项式的展开式得a5＝C33·C22·22＝4.11．[2017·浙江高考·理16，本题考查了排列组合的应用，考查了学生分析推理能力]从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)答案660解析解法一：只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C12C36A24＝480(种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C26A24＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知共有480＋180＝660(种)不同的选法．解法二：不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种．故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种)．三、解答题12．[2017·全国卷Ⅰ·理19，本题考查了正态分布，数学期望，标准差等知识，考查了运算求解能力，分析推理能力]为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性；②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x＝116i＝116xi＝9.97，s＝116i＝116xi－x2＝116i＝116x2i－16x2≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.用样本平均数x作为μ的估计值μ^，用样本标准差s作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σZμ＋3σ)＝0.9974,0.997416≈0.9592，0.008≈0.09.解(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.0026，故X～B(16,0.0026)．因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈0.0408.X的数学期望E(X)＝16×0.0026＝0.0416.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由x＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10.02.i＝116x2i＝16×0.2122＋16×9.972≈1591.134，剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.13．[2017·全国卷Ⅱ·理18，本题考查了频率分布直方图，独立性检验，样本估计总体等知识，考查了学生读图，识图能力，运算求解能力]海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；箱产量50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)．附：，K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d.解(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”．由题意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)．旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，故P(C)的估计值为0.66.因此，事件A的概率估计值为0.62×0.66＝0.4092.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量50kg箱产量≥50kg旧养殖法6238新养殖法3466K2＝－2100×100×96×104≈15.705.由于15.7056.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.340.5，箱产量低于55kg的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.680.5，故新养殖法产量的中位数的估计值为50＋0.5－0.340.068≈52.35(kg)．14．[2017·全国卷Ⅲ·理18，本题考查了离散型随机变量的分布列，数学期望等知识，考查了分析问题，解决问题能力，运算求解能力]某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关