2019-2020学年高中数学 第1讲 坐标系 4 柱坐标系与球坐标系简介学案 新人教A版选修4-4

四柱坐标系与球坐标系简介学习目标：1.了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单问题中的点的位置．(重点)2.知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式，并用于解题．(难点、易错点)教材整理1柱坐标系阅读教材P16～P17“思考”及以上部分，完成下列问题．一般地，如图，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点．它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ2π，－∞＜Z＜＋∞.已知点A的柱坐标为(1,0,1)，则点A的直角坐标为()A．(1,1,0)B．(1,0,1)C．(0,1,1)D．(1,1,1)[解析]∵x＝ρcosθ＝1，y＝ρsinθ＝0，z＝1，∴直角坐标为(1,0,1)，故选B.[答案]B教材整理2球坐标系阅读教材P17～P18，完成下列问题．一般地，如图，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记做P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.已知点A的球坐标为3，π2，π2，则点A的直角坐标为()A．(3,0,0)B．(0,3,0)C．(0,0,3)D．(3,3,0)[解析]∵x＝3×sinπ2×cosπ2＝0，y＝3×sinπ2×sinπ2＝3，z＝3×cosπ2＝0，∴直角坐标为(0,3,0)．故选B.[答案]B点的柱坐标与直角坐标互化【例1】(1)设点M的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标系中的坐标；(2)设点N的柱坐标为(π，π，π)，求它的直角坐标．[思路探究](1)已知直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z，求出ρ，θ即可．(2)已知柱坐标系中的柱坐标化为直角坐标，利用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z，求出x，y，z即可．[自主解答](1)设M的柱坐标为(ρ，θ，z)，则由1＝ρcosθ，1＝ρsinθ，z＝1，解之得，ρ＝2，θ＝π4，因此，点M的柱坐标为2，π4，1.(2)设N的直角坐标为(x，y，z)，则由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z，得x＝πcosπ，y＝πsinπ，z＝π，∴x＝－π，y＝0，z＝π，因此，点N的直角坐标为(－π，0，π)．1．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，代入变换公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z，求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.利用tanθ＝yx，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值．2．点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同．1．根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标：(1)2，5π6，3；(2)2，3π4，2.[解]设点的直角坐标为(x，y，z)．(1)x＝ρcosθ＝2cos5π6＝－3，y＝ρsinθ＝2sin5π6＝1，z＝3，因此所求点的直角坐标为(－3，1,3)．(2)x＝ρcosθ＝2cos3π4＝－1，y＝ρsinθ＝2sin3π4＝1，z＝2，因此所求点的直角坐标为(－1,1,2).将点的球坐标化为直角坐标【例2】已知点M的球坐标为2，34π，34π，求它的直角坐标．[思路探究]球坐标――――――――――――――→x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ.