2019-2020学年高中数学 第1讲 坐标系讲末复习与小结课后提能训练 新人教A版选修4-4

第1讲坐标系讲末复习与小结四、素质训练A．基础巩固1．伸缩变换的坐标表达式为x′＝x＋1，y′＝12y，曲线C在此变换下变为椭圆x′2＋y′24＝1，则曲线C的方程为()A．(x－1)2＋y2＝1B．(x＋1)2＋y216＝1C．(x＋1)2＋y2＝1D．(x－1)2＋y216＝1【答案】B【解析】直接将x′＝x＋1，y′＝12y代入方程x′2＋y′24＝1，化简即可．2．(2017年库尔勒校级期末)P点的直角坐标(－3，1)化成极坐标为()A．2，5π6B．2，5π6C．2，4π3D．2，4π3【答案】A【解析】ρ＝32＋12＝2，tanθ＝－33，θ∈π2，π，∴θ＝5π6.∴点P的极坐标为2，5π6.故选A．3．(2017年滨州校级期中)极坐标方程ρ＝sinθ＋cosθ表示的曲线是()A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线【答案】B【解析】极坐标方程ρ＝sinθ＋cosθ，即ρ2＝ρ(sinθ＋cosθ)，化为x2＋y2＝x＋y，配方为x－122＋y－122＝12，表示的曲线是以12，12为圆心，22为半径的圆．故选B．4．已知点P的球坐标是23，π3，π4，则点P的直角坐标是()A．322，322，3B．322，322，6C．62，322，3D．322，62，3【答案】A【解析】x＝rsinφcosθ＝23sinπ3cosπ4＝322，y＝rsinφsinθ＝23sinπ3sinπ4＝322，z＝rcosφ＝23cosπ3＝3，故点P的直角坐标为322，322，3.5．(2017年北京)在极坐标系中，点A在圆ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0上，点P的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为__________．【答案】1【解析】设圆ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0为圆C，将圆C的极坐标方程化为x2＋y2－2x－4y＋4＝0，再化为标准方程(x－1)2＋(y－2)2＝1.如图，当A在CP与⊙C的交点Q处时，|AP|最小为|AP|min＝|CP|－rC＝2－1＝1.故答案为1.6．在极坐标系中，曲线ρcosθ－π3＝1与极轴的交点到极点的距离为________．【答案】2【解析】由曲线ρcosθ－π3＝1展开可得ρ12cosθ＋32sinθ＝1，可得直角坐标方程x＋3y＝2，令y＝0，可得x＝2.∴曲线ρcosθ－π3＝1与极轴的交点到极点的距离为2.7．在极坐标系中，设圆ρ＝2上的点到直线ρ(cosθ＋3sinθ)＝6的距离为d，求d的最大值和最小值．【解析】解法一：将圆的极坐标方程ρ＝2转化为直角坐标方程x2＋y2＝4，圆心为(0,0)，半径为r＝2，直线的极坐标方程ρ(cosθ＋3sinθ)＝6可化为直角坐标方程x＋3y＝6，所以圆心到直线的距离为d′＝|－6|4＝3.所以dmax＝d′＋r＝3＋2＝5，dmin＝d′－r＝3－2＝1.解法二：将圆的极坐标方程ρ＝2转化为直角坐标方程x2＋y2＝4，直线的极坐标方程ρ(cosθ＋3sinθ)＝6可化为直角坐标方程x＋3y＝6.在圆x2＋y2＝4上任取一点A(2cosα，2sinα)，则点A到直线的距离为d＝|2cosα＋23sinα－6|1＋3＝|cosα＋3sinα－3|＝2sinα＋π6－3，所以当sinα＋π6＝－1时，dmax＝|2×(－1)－3|＝5；当sinα＋π6＝1时，dmin＝|2×1－3|＝1.B．能力提升8.(2018年长春模拟)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcosθ－π3＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点.(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设M，N连线的中点为P，求直线OP的极坐标方程.【解析】(1)∵ρcosθ－π3＝1，∴ρcosθ·cosπ3＋ρsinθ·sinπ3＝1.即曲线C的直角坐标方程为x＋3y－2＝0.令y＝0，则x＝2；令x＝0，则y＝233.∴M(2,0)，N0，233.∴M的极坐标为(2,0)，N的极坐标为233，π2.(2)∵M，N连线的中点P的直角坐标为1，33，∴P的极角为θ＝π6.∴直线OP的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R).