2019-2020学年高中数学 第1章 不等关系与基本不等式 2 2.2 绝对值不等式的解法学案 北

2.2绝对值不等式的解法学习目标：1.理解绝对值的几何意义，掌握去掉绝对值的方法．(重点)2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)．(重点、关键点)教材整理1含有一个绝对值不等式的解法阅读教材P8～P9“思考交流”以上部分，完成下列问题．1．绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集不等式a＞0a＝0a＜0|x|＜a{x|－a＜x＜a}∅∅|x|＞a{x|x＞a，或x＜－a}{x∈R，且x≠0}R2.|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法(1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；(2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)|x|a的解集是(－a，a).()(2)不等式|x－2|≥3的解集是(－∞，－1]∪[5，＋∞).()(3)若|x－a|2的解集是(－1,3)时，a的值为2.()[解析](1)×当a≤0时，|x|a的解集为∅.(2)√由|x－2|≥3，得x－2≥3或x－2≤－3，即x≥5或x≤－1.(3)×若|x－a|2的解集为(－1,3)时，－1和3是|x－a|＝2的根，即|－1－a|＝2，|3－a|＝2，解得a＝1或－3，a＝1或5，故a＝1.[答案](1)×(2)√(3)×教材整理2|x－a|＋|x－b|≥c与|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法阅读教材P8～P9“思考交流”以上部分，完成下列问题．1．利用绝对值不等式的几何意义求解．2．利用零点分段法求解．3．构造函数，利用函数的图像求解．填空：(1)|x－4|＋|x－2|1的解集为________．(2)若f(x)＝|x－a|＋|x＋b|的最小值为3，当af(x)恒成立时，a的取值范围是________．(3)|x－3||x＋1|的解集为________．[解析](1)∵|x－4|＋|x－2|≥|4－2|＝21，∴不等式的解集为R.(2)由条件可知，当af(x)恒成立时，a[f(x)]min，即a3.(3)由原不等式得(x－3)2(x＋1)2，整理得x1.[答案](1)R(2)a3(3)(－∞，1)|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c型不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)1|x－2|≤3；(2)|2x＋5|7＋x.[精彩点拨](1)可利用公式转化为|ax＋b|c(c0)或|ax＋b|c(c0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式．(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式．[自主解答](1)法一：原不等式等价于不等式组|x－2|1，|x－2|≤3，即x1或x3，－1≤x≤5.解得－1≤x1或3x≤5，所以原不等式的解集为{x|－1≤x1或3x≤5}．法二：原不等式可转化为：①x－2≥0，1x－2≤3或②x－20，1－x－2≤3，由①得3x≤5，由②得－1≤x1，所以原不等式的解集是{x|－1≤x1或3x≤5}．法三：原不等式的解集就是1(x－2)2≤9的解集，即x－22≤9，x－221，解得－1≤x≤5，x1或x3.所以－1≤x1或3x≤5.所以原不等式的解集是{x|－1≤x1或3x≤5}．(2)由不等式|2x＋5|7＋x，可得2x＋57＋x或2x＋5－(7＋x)，整理得x2或x－4.所以原不等式的解集是{x|x－4或x2}．1．形如a|f(x)|b(ba0)型不等式的简单解法是利用等价命题法，即a|f(x)|b(0ab)⇔a|f(x)|b或－bf(x)－a.2．|f(x)|g(x)和|f(x)|g(x)型不等式的解法是将f(x)看做一个整体，g(x)看做一个常数，即可化为f(x)g(x)或f(x)－g(x)和－g(x)f(x)g(x)求解．3．形如|f(x)|f(x)，|f(x)|f(x)型不等式的简单解法是利用绝对值的定义，即|f(x)|f(x)⇔f(x)0，|f(x)|f(x)⇔x∈∅.1．解不等式|x2－x＋2|＞x2－3x－4.[解]∵x2－x＋2＝x－122＋74＞0，∴|x2－x＋2|＝x2－x＋2.原不等式等价于x2－x＋2＞x2－3x－4，解得x＞－3.∴原不等式的解集为{x|x＞－3}.|x－a|±|x－b|≥c(≤c)型不等式的解法【例2】解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.[精彩点拨]本题考查|x－a|＋|x－b|≥c型含两个绝对值的不等式的解法，解答此题可利用绝对值的几何意义去掉绝对值符号求解，也可用零点分区间讨论法求解，或者用图像法，利用图形分析求解．[自主解答]法一：如图所示，设数轴上与－1,1对应的点分别为A，B，那么A，B两点的距离和为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A点左侧有一点A1，到A，B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x.∴－1－x＋1－x＝3，得x＝－32.同理设B点右侧有一点B1到A，B两点距离和为3，B1对应数轴上的x，∴x－1＋x－(－1)＝3.∴x＝32.从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3.所以原不等式的解集是－∞，－32∪32，＋∞.法二：当x≤－1时，原不等式可以化为－(x＋1)－(x－1)≥3，解得x≤－32.当－1x1时，原不等式可以化为x＋1－(x－1)≥3，即2≥3，不成立，无解．当x≥1时，原不等式可以化为x＋1＋x－1≥3，所以x≥32.综上所述，原不等式的解集为xx≤－32或x≥32.法三：将原不等式转化为|x＋1|＋|x－1|－3≥0.构造函数y＝|x＋1|＋|x－1|－3，即y＝－2x－3，x≤－1，－1，－1x1，2x－3，x≥1.作出函数的图像，如图所示：函数的零点是－32，32.从图像可知，当x≤－32或x≥32时，y≥0，即|x＋1|＋|x－1|－3≥0.解得原不等式的解集为－∞，－32∪32，＋∞.这三种解法是解含有两个绝对值和差不等式常用的方法，解法一中关键是找到特殊点，解法二中的分类讨论要遵循“不重不漏”的原则，解法三则要准确画出函数图像，并准确找出零点．2．解不等式|2x－1||x|＋1.[解]①当x＜0时，原不等式可化为－2x＋1＜－x＋1，解得x＞0，与x＜0矛盾，此时无解；②当0≤x＜12时，原不等式可化为－2x＋1＜x＋1，解得x＞0，又∵0≤x＜12，从而有0＜x＜12；③当x≥12时，原不等式化为2x－1＜x＋1，∴x＜2.因此12≤x＜2.综合①②③知，原不等式的解集是{x|0＜x＜2}.含参数的不等式[探究问题]1．函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|的最小值是什么？当|a－b|＞c时，不等式|x－a|＋|x－b|＞c的解集是什么？[提示]因为|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|a－b|.∴当|a－b|＞c时，不等式|x－a|＋|x－b|＞c的解集为R.事实上，对于一切x∈R，有|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|a－b|＞c.2．对于a≥f(x)在R上恒成立求a的取值范围时，如何转化求解？对于a≤f(x)呢？对于af(x)的解集为∅，求a的取值范围时如何转化求解，对于af(x)呢？[提示]a≥f(x)恒成立⇔a≥[f(x)]max.a≤f(x)恒成立⇔a≤[f(x)]min.af(x)解集为∅⇔a≤f(x)恒成立af(x)解集为∅⇔a≥f(x)恒成立．3．对于a≥f(x)有解求a的范围时，如何转化求解？a≤f(x)有解呢？[提示]a≥f(x)有解⇔a≥[f(x)]min.a≤f(x)有解⇔a≤[f(x)]max.【例3】已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．[精彩点拨](1)解f(x)≤3，由集合相等，求a.(2)求y＝f(x)＋f(x＋5)的最小值，确定m的范围．[自主解答](1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，所以a－3＝－1，a＋3＝5，解得a＝2.(2)法一由(1)知a＝2，此时f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|，于是g(x)＝－2x－1，x＜－3，5，－3≤x≤2，2x＋1，x＞2.利用g(x)的单调性，易知g(x)的最小值为5.因此g(x)＝f(x)＋f(x＋5)≥m对x∈R恒成立，知实数m的取值范围是(－∞，5]．法二当a＝2时，f(x)＝|x－2|.设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|.由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)，得g(x)的最小值为5.因此，若g(x)＝f(x)＋f(x＋5)≥m恒成立，应有实数m的取值范围是(－∞，5]．1．第(2)问求解的关键是转化为求f(x)＋f(x＋5)的最小值，法一是运用分类讨论思想，利用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立的条件)．2．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向，解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用．3．若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|≤a的解集为∅，求实数a的取值范围．[解]法一：令y1＝|x＋2|＋|x－1|，y2＝a.∴y1＝2x＋1，x≥1，3，－2≤x1，－2x－1，x－2.y1，y2的图像如图所示．由图可知，当a3时，|x＋2|＋|x－1|≤a的解集为∅.法二：|x＋2|＋|x－1|表示数轴上的点A(x)到B(－2)和C(1)两点的距离之和，而|BC|＝3，所以A到B，C两点的距离之和的最小值为3.即对一切x∈R，总有|x＋2|＋|x－1|≥3.因为|x＋2|＋|x－1|≤a的解集为∅，所以只需a3即可，所以a的取值范围是a3.1．不等式|x|·(1－2x)＞0的解集是()A．－∞，12B．(－∞，0)∪0，12C．12，＋∞D．0，12[解析]原不等式等价于x≠0，1－2x＞0，解得x＜12且x≠0，即x∈(－∞，0)∪0，12.[答案]B2．不等式|x－2|＞x－2的解集是()A．(－∞，2)B．(－∞，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－∞，2)∪(2，＋∞)[解析]原不等式同解于x－2＜0，即x＜2.[答案]A3．已知集合A＝{x∈R||x－1|2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于________．[解析]A＝{x∈R||x－1|2}＝{x∈R|－1x3}．集合A中包含的整数有0,1,2，故A∩Z＝{0,1,2}．[答案]34．在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1的解集为________．[解析]由于||x－2|－1|≤1，即－1≤|x－2|－1≤1，即|x－2|≤2，所以－2≤x－2≤2，所以0≤x≤4.[答案][0,4]5．设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．[解](1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.由此可得x≥3或x≤－1.故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．(2)由f(x)≤0，得|x－a|＋3x≤0.此不等式化为不等式