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1.3.1|ax+b|≤c,|ax+b|≥c型不等式的解法1.3.2|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法学习目标:1.理解绝对值的几何意义,掌握去绝对值的方法.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c;|x-a|+|x-b|≤c.教材整理1绝对值不等式|x|a与|x|a的解集不等式a0a=0a0|x|a{x|-axa}|x|a{x|xa,或x-a}{x∈R|x≠0}R不等式|x|·(1-2x)0的解集是()A.-∞,12B.(-∞,0)∪0,12C.12,+∞D.0,12[解析]原不等式等价于x≠0,1-2x0,解得x12且x≠0,即x∈(-∞,0)∪0,12.[答案]B教材整理2|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c0)型不等式的解法1.|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c.2.|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.不等式1<|x+1|<3的解集为()A.(0,2)B.(-2,0)∪(2,4)C.(-4,0)D.(-4,-2)∪(0,2)[解析]由1<|x+1|<3,得1<x+1<3或-3<x+1<-1,∴0<x<2或-4<x<-2,∴不等式的解集为(-4,-2)∪(0,2).[答案]D教材整理3|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c0)型不等式的解法1.利用绝对值不等式的几何意义求解.2.利用零点分段法求解.3.构造函数,利用函数的图象求解.|ax+b|≤c与|ax+b|≥c型不等式的解法【例1】解下列不等式.(1)1<|x-2|≤3;(2)|2x+5|>7+x;(3)1x2-2≤1|x|.[精彩点拨]本题考查较简单的绝对值不等式的解法.解答本题(1)可利用公式转化为|ax+b|>c(c>0)或|ax+b|<c(c>0)型不等式后逐一求解,也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号,还可用平方法转化为不含绝对值的不等式.(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式.(3)可分类讨论去掉分母和绝对值.[自主解答](1)法一:原不等式等价于不等式组|x-2|>1,|x-2|≤3,即x<1或x>3,-1≤x≤5,解得-1≤x<1或3<x≤5,所以原不等式的解集为{x|-1≤x<1或3<x≤5}.法二:原不等式可转化为:①x-2≥0,1<x-2≤3,或②x-2<0,1<-x-2≤3,由①得3<x≤5,由②得-1≤x<1,所以原不等式的解集是{x|-1≤x<1或3<x≤5}.(2)由不等式|2x+5|>7+x,可得2x+5>7+x或2x+5<-(7+x),整理得x>2或x<-4.所以原不等式的解集是{x|x<-4或x>2}.(3)①当x2-2<0且x≠0,即当-2<x<2,且x≠0时,原不等式显然成立.②当x2-2>0时,原不等式与不等式组|x|>2,x2-2≥|x|等价,x2-2≥|x|即|x|2-|x|-2≥0,所以|x|≥2,所以不等式组的解为|x|≥2,即x≤-2或x≥2.所以原不等式的解集为(-∞,-2]∪(-2,0)∪(0,2)∪[2,+∞).形如|f(x)|>g(x)的不等式可借助|ax+b|>c的解法,转化为f(x)<-g(x)或f(x)>g(x),当然|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x).如果f(x)的正负能确定的话,也可以直接去掉绝对值符号.1.解下列不等式.(1)x+|2x-1|3;(2)|1-2x|≤3.[解](1)原不等式可化为2x-1≥0,x+2x-13,或2x-10,x-2x-13,解得12≤x43或-2x12,所以原不等式的解集是x-2x43.(2)原不等式化为|2x-1|≤3,得-3≤2x-1≤3,从而-2≤2x≤4,得解集为{x|-1≤x≤2}.|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法【例2】解不等式|x+2|+|x-1|≤4.[精彩点拨]在数轴上与-2,1对应的点把数轴分成三部分,在每一部分里分别讨论不等式的解,然后把所求得三个集合取并集;也可以利用绝对值几何意义求解,另外还可以构造函数通过数形结合求得.[自主解答]法一(零点分段讨论法):(1)x≤-2时,|x+2|+|x-1|≤4⇔-2-x+1-x≤4⇔-2x≤5⇔x≥-52,∴-52≤x≤-2;(2)-2<x<1时,|x+2|+|x-1|≤4⇔x+2+1-x≤4⇔-1≤0,∴-2<x<1;(3)x≥1时,|x+2|+|x-1|≤4⇔x+2+x-1≤4⇔2x≤3⇔x≤32,∴1≤x≤32.因此原不等式的解集为-52,-2∪(-2,1)∪1,32=-52,32.法二(几何法):x为不等式|x+2|+|x-1|≤4的解⇔x是与数轴上的点A(-2)及B(1)两点距离之和小于等于4的点.A,B两点的距离为3,因此线段AB上任何一点到A,B距离之和都等于3,因此都是原不等式的解,但我们需要找到原不等式解的全体,于是关键在于找到A,B距离之和为4的点.如图,我们将B向右移动12个单位至点B132,此时B1与A及B距离之和增加1个单位,同理我们将A点向左移动12个单位到A1-52,这时A1与A及B距离之和也增加一个单位,从数轴上可以看到A1与B1之间的任何点(包括点A1和B1)到A,B的距离之和均小于等于4,而当x<-52或x>32时,x与A,B两点的距离之和都大于4.因而原不等式的解集为-52,32.法三(图象法):将原不等式转化为|x+2|+|x-1|-4≤0.构造函数y=|x+2|+|x-1|-4,即y=-2x-5,x≤-2,-1,-2<x<1,2x-3,x≥1,作出函数图象(如图),当x∈-52,32时,y≤0,所以原不等式的解集为-52,32.|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式可从以下三个方面去解:(1)零点分段讨论法设数轴上与a,b对应的点分别是A,B,以A,B为分界点,将数轴分为三个区间,在这三个区间上,绝对值不等式可以转化为不含绝对值的不等式,分别求解后再求并集.(2)利用|x-a|的几何意义|x-a|+|x-b|与|x-a|-|x-b|分别表示数轴上与x对应的点到与a,b对应的点的距离之和与距离之差.(3)(构造函数法)数形结合法通过构造函数,利用函数的图象求解,体现函数与方程的思想,正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的单调性)是解题关键.2.解不等式|x+1|+|x-2|<4.[解]当x<-1时,不等式化为-x-1+2-x<4,解得-32<x<-1;当-1≤x≤2时,不等式化为x+1+2-x<4,解得-1≤x≤2;当x>2时,不等式化为x+1+x-2<4,解得2<x<52.所以原不等式的解集为-32,52.含参数的绝对值不等式的综合问题【例3】已知函数f(x)=|x-a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值;(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.[精彩点拨][自主解答](1)由f(x)≤3,得|x-a|≤3,解得a-3≤x≤a+3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},所以a-3=-1,a+3=5,解得a=2.(2)由(1)知a=2,此时f(x)=|x-2|,设g(x)=f(x)+f(x+5)=|x-2|+|x+3|,于是g(x)=-2x-1,x-3,5,-3≤x≤2,2x+1,x2.利用g(x)的单调性,易知g(x)的最小值为5.因此,若g(x)=f(x)+f(x+5)≥m对x∈R恒成立,实数m的取值范围是(-∞,5].1.第(2)问求解的关键是转化为求f(x)+f(x+5)的最小值,运用分类讨论思想,利用函数的单调性求解.2.将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,这是命题的新动向,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活运用.3.若将“本例的条件和第(1)问”改为“f(x)=|2x-2|+|x+3|且关于x的不等式f(x)≤|2a-1|的解集不是空集”,试求实数a的取值范围.[解]易知f(x)=-3x-1,x≤-3,5-x,-3x1,3x+1,x≥1.当x≤-3时,f(x)=-3x-1≥8,当-3x1时,f(x)=5-x是减函数,∴4f(x)8,当x≥1时,f(x)=3x+1≥4.因此f(x)的值域是[4,+∞).要使f(x)≤|2a-1|的解集不是空集,必须有|2a-1|≥4,∴2a-1≥4或2a-1≤-4,解得a≥52或a≤-32.因此实数a的取值范围是aa≤-32或a≥52.含绝对值的不等式的解法[探究问题]1.当c0时,|ax+b|≤c,|ax+b|≥c的解集分别是什么?[提示]c0时,|ax+b|≤c的解集为.|ax+b|≥c的解集为R.2.如何解含绝对值的不等式?[提示]利用绝对值的意义和性质,去掉绝对值转化为不含绝对值的不等式或不等式组,再进一步求解.也可利用函数思想通过图象求解.3.如何解含一个绝对值的不等式?[提示]含一个绝对值不等式的常见类型及其解法:(1)形如|f(x)|<a,|f(x)|>a(a∈R)型不等式.此类不等式的简单解法是等价命题法,即①当a>0时,|f(x)|<a⇒-a<f(x)<a.|f(x)|>a⇔f(x)>a或f(x)<-a.②当a=0时,|f(x)|<a无解,|f(x)|>a⇔f(x)≠0.③当a<0时,|f(x)|<a无解,|f(x)|>a⇔f(x)有意义.(2)形如|f(x)|<g(x),|f(x)|>g(x)型不等式.此类不等式的简单解法是等价命题法,即①|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x),②|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(其中g(x)可正也可负).若此类问题用分类讨论法来解决,就显得较复杂.(3)形如a<|f(x)|<b(b>a>0)型不等式.此类问题的简单解法是利用等价命题法,即a<|f(x)|<b(0<a<b)⇔a<f(x)<b或-b<f(x)<-a.(4)形如|f(x)|<f(x),|f(x)|>f(x)型不等式.此类题的简单解法是利用绝对值的含义,即|f(x)|>f(x)⇔f(x)<0,|f(x)|<f(x)⇔x∈.4.如何解含两个绝对值的不等式?[提示](1)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的三种解法:分区间(分类)讨论法、图象法和几何法.分区间讨论的方法具有普遍性,但较复杂;几何法和图象法直观,但只适用于数据较简单的情况.(2)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的图象解法和画出函数f(x)=|x-a|+|x-b|-c的图象是密切相关的,其图象是折线,正确地画出其图象的关键是写出f(x)的分段表达式.不妨设a<b,于是f(x)=-2x+a+b-c,x≤a,b-a-c,a<x<b,2x-a-b-c,x≥b.这种图象法的关键是合理构造函数,正确画出函数的图象,求出函数的零点,体现了函数与方程结合、数形结合的思想.(3)形如|f(x)|<|g(x)|型不等式,此类问题的简单解法是利用平方法,即|f(x)|<|g(x)|⇔[f(x)]2<[g(x)]2⇔[f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]<0.【例4】已知函数f(x)=|x-8|-|x-4|.(1)作出函数f(x)的图象;(2)解不等式f(x)>2.[精彩点拨](1)去掉绝对值,把f(x)表示为分段函数,画出f(x
本文标题:2019-2020学年高中数学 第1章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.3 绝对值不等式的解法
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