2019-2020学年高中数学 第1章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.4 绝对值的三角不等式

1.4绝对值的三角不等式学习目标：1.理解绝对值不等式的性质定理.2.会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式；会求简单绝对值不等式的最值．教材整理绝对值的三角不等式1．定理1若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．定理2设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，等号成立⇔(a－b)(b－c)≥0，即b落在a，c之间．若|a＋b|＝|a|＋|b|成立，a，b∈R，则有()A．ab0B．ab0C．ab≥0D．以上都不对[解析]由定理1易知答案选C.[答案]C绝对值不等式的理解与应用【例1】已知|a|≠|b|，m＝|a|－|b||a－b|，n＝|a|＋|b||a＋b|，则m，n之间的大小关系是________．[精彩点拨]利用绝对值三角不等式定理分别判定m，n与1的大小．[自主解答]因为|a|－|b|≤|a－b|，所以|a|－|b||a－b|≤1，即m≤1.又因为|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a|＋|b||a＋b|≥1，即n≥1.所以m≤1≤n.[答案]m≤n1．本题求解的关键在于|a|－|b|≤|a－b|与|a＋b|≤|a|＋|b|的理解和应用．2．在定理1中，以－b代b，得|a－b|≤|a|＋|b|；以a－b代替实数a，可得到|a|－|b|≤|a－b|.1．若将“本例的条件”改为“n＝|a＋b||a|＋|b|”，则n与1之间的大小关系是________．[解析]∵|a＋b|≤|a|＋|b|，∴|a＋b||a|＋|b|≤1，∴n≤1.[答案]n≤1运用绝对值不等式求最值与范围【例2】对任意x∈R，求使不等式|x＋1|＋|x＋2|≥m恒成立的m的取值范围．[精彩点拨]令t＝|x＋1|＋|x＋2|，只需m≤tmin.[自主解答]法一：对x∈R，|x＋1|＋|x＋2|≥|(x＋1)－(x＋2)|＝1，当且仅当(x＋1)(x＋2)≤0时，即－2≤x≤－1时取等号．∴t＝|x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1.∴实数m的取值范围是(－∞，1]．法二：t＝|x＋1|＋|x＋2|＝－2x＋3，x－2，1，－2≤x≤－1，2x＋3，x－1.∴t≥1，则t＝|x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1.因此实数m的取值范围是(－∞，1]．1．本题也可利用绝对值的几何意义求解．2．对于含有两个绝对值以上的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质求函数最值．2．若|x＋1|＋|x－3|＞k对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围为________．[解析]设f(x)＝|x＋1|＋|x－3|，则有f(x)＝－2x＋2，x≤－1，4，－1≤x≤3，2x－2，x≥3.当x≤－1时，f(x)有最小值为4；当－1≤x≤3时，f(x)有最小值为4；当x≥3时，f(x)有最小值为4.综上所述，f(x)有最小值为4，所以k＜4.[答案](－∞，4)含绝对值不等式的证明【例3】设m等于|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|m时，求证：ax＋bx22.[精彩点拨]不管|a|，|b|,1的大小，总有m≥|a|，m≥|b|，m≥1，然后利用绝对值不等式的性质证明．[自主解答]依题意m≥|a|，m≥|b|，m≥1，又|x|m，∴|x||a|，|x||b|，|x|1，从而|x|2|b|.因此ax＋bx2≤ax＋bx2＝|a||x|＋|b||x2||x||x|＋|x|2|x2|＝2，即ax＋bx22.1．将文字语言“m等于|a|，|b|,1中最大的一个”转化为符号语言“m≥|a|，m≥|b|，m≥1”是证明本题的关键．2．运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意放缩的方向和“尺度”，切忌放缩过度．3．若f(x)＝x2－x＋c(为常数)，且|x－a|1，求证：|f(x)－f(a)|2(|a|＋1)．[证明]|f(x)－f(a)|＝|(x2－x＋c)－(a2－a＋c)|＝|x2－x－a2＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1||x＋a－1|＝|(x－a)＋(2a－1)|≤|x－a|＋|2a－1|.又|x－a|1，∴|f(x)－f(a)|≤|x－a|＋|2a－1|≤|x－a|＋|2a|＋11＋2|a|＋1＝2(|a|＋1)．绝对值的三角不等式[探究问题]1．绝对值的三角不等式|a|－|b|＜|a±b|＜|a|＋|b|的几何意义是什么？[提示]绝对值的三角不等式：|a|－|b|＜|a±b|＜|a|＋|b|的几何意义是三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于第三边．2．绝对值的三角不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|的结构特点是什么？[提示]对|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|的诠释：定理的构成部分特征大小关系等号成立的条件左端|a|－|b|可能是负的≤中间部分中间部分为|a＋b|时，ab≤0，且|a|≥|b|时，左边的等号成立；中间部分为|a－b|时，ab≥0，且|a|≥|b|时，左边等号成立.中间部分|a±b|肯定是非负的≥左端≤右端用“＋”连接时，ab≥0，右端取等号，ab≤0，且|a|≥|b|时，左端取等号；用“－”连接时，ab≥0，且|a|≥|b|时，左端取等号，ab≤0，右端取等号.右端|a|＋|b|是非负的≥中间部分中间部分为|a＋b|时，ab≥0，等号成立；中间部分为|a－b|时，ab≤0，等号成立.3.含绝对值不等式的证明思路是什么？[提示]含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，进而特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．【例4】设a，b∈R，求证：|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|≥|a＋b|1＋|a＋b|.[精彩点拨]利用绝对值不等式性质或构造函数证明．[自主解答]法一：①若ab＝0或a＋b＝0，不等式显然成立．②若ab≠0且a＋b≠0，∵|a＋b|≤|a|＋|b|，∴|a|＋|b|1＋|a|＋|b|＝11＋1|a|＋|b|≥11|a＋b|＋1＝|a＋b|1＋|a＋b|(*)又|a|1＋|a|＞|a|1＋|a|＋|b|，|b|1＋|b|＞|b|1＋|a|＋|b|，∴|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|＞|a|＋|b|1＋|a|＋|b|.又由(*)式可知|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|＞|a＋b|1＋|a|＋|b|.综上①②可知|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|＞|a＋b|1＋|a＋b|.法二：若ab＝0或a＋b＝0，不等式显然成立．若ab≠0且a＋b≠0，∵|a＋b|≤|a|＋|b|，∴0＜1＋1|a|＋|b|≤1＋1|a＋b|.即0＜1＋|a|＋|b||a|＋|b|≤1＋|a＋b||a＋b|.取倒数得|a|＋|b|1＋|a|＋|b|≥|a＋b|1＋|a＋b|，又由法一知，原不等式成立．法三：∵|a|＋|b|≥|a＋b|，∴|a|＋|b|＋(|a|＋|b|)·|a＋b|≥|a＋b|＋(|a|＋|b|)·|a＋b|，即(|a|＋|b|)(1＋|a＋b|)≥|a＋b|(1＋|a|＋|b|)．两边同除以(1＋|a＋b|)(1＋|a|＋|b|)得|a|＋|b|1＋|a|＋|b|≥|a＋b|1＋|a＋b|.又由法一知，原不等式成立．法四：构造函数f(x)＝x1＋x，任取x1，x2∈[0，＋∞)且x1＜x2，有f(x1)－f(x2)＝x11＋x1－x21＋x2＝x1－x21＋x11＋x2＜0.∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数．又|a|＋|b|≥|a＋b|，∴f(|a|＋|b|)≥f(|a＋b|)，即|a|＋|b|1＋|a|＋|b|≥|a＋b|1＋|a＋b|.又由法一知，所证不等式成立．1．已知实数a，b满足ab0，那么有()A．|a－b||a|＋|b|B．|a＋b||a|－|b|C．|a＋b||a－b|D．|a－b|||a|－|b||[解析]∵ab0，∴|a－b||a＋b|成立，|a－b|＝|a|＋|b|，|a＋b|≥|a|－|b|也成立．[答案]C2．若a，b∈R，则使|a|＋|b|1成立的充分不必要条件()A．|a|≥12且|b|≥12B．|a＋b|≥1C．|a|≥1D．b－1[解析]当b－1时，|b|1，∴|a|＋|b|1，但|a|＋|b|1⇒/b－1(如a＝2，b＝0)，∴“b－1”是“|a|＋|b|1”的充分不必要条件．[答案]D3．若|a－c|b，则下列不等式不成立的是()A．|a||b|＋|c|B．|c||a|＋|b|C．b||c|－|a||D．b|a|－|c|[解析]由|a－c|b可知b0，∴b＝|b|.∵|a|－|c|≤|a－c|，∴|a|－|c|b，则|a|b＋|c|＝|b|＋|c|，故选项A成立．同理，由|c|－|a|≤|a－c|，得|c|－|a|b，∴|c||a|＋b＝|a|＋|b|，故选项B成立．而由选项A成立，得|c|－|a|－|b|，由选项B成立，得|c|－|a||b|.∴－|b||c|－|a||b|，即||c|－|a|||b|＝b.故选项C成立．由选项A成立知选项D不成立．故选D.[答案]D4．已知α，β是实数，给出三个论断：①|α＋β|＝|α|＋|β|；②|α＋β|5；③|α|22，|β|22.以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，下列正确的命题是()A．①③⇒②B．①②⇒③C．②③⇒①D．都不正确[解析]当①，③成立时，则|α＋β|＝|α|＋|β|425.[答案]A5．已知f(x)＝|x－10|＋|x－20|(x∈R)，求f(x)的最小值，并求当f(x)有最小值时，实数x的取值范围．[解]∵|x－10|＋|x－20|＝|x－10|＋|20－x|≥|(x－10)＋(20－x)|＝10.当且仅当(x－10)(20－x)≥0时取等号．由(x－10)(20－x)≥0，得10≤x≤20，因此f(x)的最小值为10，此时实数x的取值范围是[10,20]．