2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念

1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念学习目标核心素养1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)4．理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．(易混点)1．通过对函数的平均变化率、瞬时变化率、导数的概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养．2．通过求平均变化率、瞬时变化率及导数的学习，培养逻辑推理及数学运算的核心素养.1．函数的平均变化率(1)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1，其中Δx＝x2－x1是相对于x1的一个“增量”，Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)是相对于f(x1)的一个“增量”．(2)平均变化率的几何意义设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1＝fx1＋Δx－fx1Δx为割线AB的斜率，如图所示．思考：Δx，Δy的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？[提示]Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零．平均变化率ΔyΔx可正、可负、可为零．2．瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.3．导数的概念函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.1．函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为()A．f(x0＋Δx)B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)D[Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故选D.]2．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度是()A．4B．4.1C．0.41D．－1.1B[v＝ΔsΔt＝s2.1－s22.1－2＝2.12－220.1＝4.1，故选B.]3．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________．2[∵f(x)＝x2.∴在x＝1处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝limΔx→01＋Δx2－12Δx＝limΔx→0(2＋Δx)＝2.]4．函数f(x)＝2在x＝6处的导数等于________．0[f′(6)＝limΔx→0f6＋Δx－f6Δx＝limΔx→02－2Δx＝0.]求函数的平均变化率【例1】已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：(1)从0.1到0.2的平均变化率；(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．[解](1)因为f(x)＝3x2＋5，所以从0.1到0.2的平均变化率为3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x20＋5)＝3x20＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x20－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0Δx＋3Δx2Δx＝6x0＋3Δx.1．求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1；第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；第三步，求平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1.2．求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用fx0＋Δx－fx0Δx的形式．1．如图所示，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于()A．1B．－1C．2D．－2B[平均变化率为1－33－1＝－1.故选B.]2．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则ΔyΔx的值为()A．4B．4xC．4＋2Δx2D．4＋2ΔxD[ΔyΔx＝21＋Δx2－2×12Δx＝4＋2Δx.故选D.]求瞬时速度[探究问题]1．物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2，如何计算物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度？[提示]Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2，v＝ΔsΔt＝10＋5Δt.2．当Δt趋近于0时，探究1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？[提示]当Δt趋近于0时，ΔsΔt趋近于10，这时的平均速度即为当t＝1时的瞬时速度．【例2】某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1s时的瞬时速度．思路探究：计算物体在[1，1＋Δt]内的平均速度ΔsΔt――→令Δt→0计算limΔt→0ΔsΔt―→得t＝1s时的瞬时速度[解]∵ΔsΔt＝s1＋Δt－s1Δt＝1＋Δt2＋1＋Δt＋1－12＋1＋1Δt＝3＋Δt，∴limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3＋Δt)＝3.∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3.即物体在t＝1s时的瞬时速度为3m/s.1．(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度．[解]求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．∵ΔsΔt＝s0＋Δt－s0Δt＝0＋Δt2＋0＋Δt＋1－1Δt＝1＋Δt，∴limΔt→0(1＋Δt)＝1.∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1m/s.2．(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.[解]设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s.又ΔsΔt＝st0＋Δt－st0Δt＝(2t0＋1)＋Δt.limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.则2t0＋1＝9，∴t0＝4.则物体在4s时的瞬时速度为9m/s.求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．(2)求平均速度v＝ΔsΔt.(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于常数v，即为瞬时速度．求函数在某一点处的导数【例3】(1)设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且limΔx→0fx0－3Δx－fx0Δx＝1，则f′(x0)等于()A．1B．－1C．－13D．13(2)求函数f(x)＝x－1x在x＝1处的导数．思路探究：(1)类比f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx求解．(2)先求Δy―→再求ΔyΔx―→计算limΔx→0ΔyΔx(1)C[∵limΔx→0fx0－3Δx－fx0Δx＝limΔx→0fx0－3Δx－fx0－3Δx·－3＝－3f′(x0)＝1，∴f′(x0)＝－13，故选C.](2)[解]∵Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－1－11＝Δx＋1－11＋Δx＝Δx＋Δx1＋Δx，∴ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx，∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→01＋11＋Δx＝2.求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限．3．已知f′(1)＝－2，则limΔx→0f1－2Δx－f1Δx＝________.4[∵f′(1)＝－2，∴limΔx→0f1－2Δx－f1Δx＝limΔx→0f1－2Δx－f1－12×－2Δx＝－2limΔx→0f1－2Δx－f1－2Δx＝－2f′(1)＝－2×(－2)＝4.]4．求函数y＝3x2在x＝1处的导数．[解]∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，∴ΔyΔx＝6＋3Δx，∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(6＋3Δx)＝6.1．极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限．2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)反映了函数在该点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况．即：f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limx→x0fx－fx0x－x0，且y＝f(x)在x0处的导数是一个局部概念．特别提醒：①取极限前，要注意化简ΔyΔx，保证使Δx→0时分母不为0.②函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关．③导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛.1．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是()A．0.4B．2C．0.3D．0.2B[v＝s2.1－s22.1－2＝4.2－40.1＝2.]2．物体自由落体的运动方程为s(t)＝12gt2，g＝9.8m/s2，若v＝limΔt→0s1＋Δt－s1Δt＝9.8m/s，那么下列说法中正确的是()A．9.8m/s是物体从0s到1s这段时间内的速率B．9.8m/s是1s到(1＋Δt)s这段时间内的速率C．9.8m/s是物体在t＝1s这一时刻的速率D．9.8m/s是物体从1s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率C[结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C正确．]3．函数f(x)＝x在x＝1处的导数为________．12[∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝1＋Δx－1，∴ΔyΔx＝1＋Δx－1Δx＝11＋Δx＋1，∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→011＋Δx＋1＝12.]4．设f(x)在x0处可导，若limΔx→0fx0＋3Δx－fx0Δx＝A，则f′(x0)＝________.A3[limΔx→0fx0＋3Δx－fx0Δx＝3lim3Δx→0fx0＋3Δx－fx03Δx＝3f′(x0)＝A.故f′(x0)＝13A.]5．在曲线y＝f(x)＝x2＋3上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求：(1)ΔyΔx；(2)f′(1)．[解](1)ΔyΔx＝f1＋Δx－f1Δx＝1＋Δx2＋3－12＋3Δx＝2＋Δx.(2)f′(1)＝limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝limΔx→0(2＋Δx)＝2.