2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例学案 新人教A版选

1.4生活中的优化问题举例学习目标核心素养1.体会导数在解决实际问题中的作用.2.能利用导数解决简单的实际问题．(重点、难点)1.通过利用导数解决生活中的优化问题的学习，培养学生数学建模的核心素养.2.借助实际问题的求解，提升学生逻辑推理及数学运算的核心素养.1．优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．用导数解决优化问题的基本思路思考：解决生活中优化问题应注意什么？[提示](1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域．(2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，如：长度、宽度应大于0，销售价为正数等．1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．7万件B．9万件C．11万件D．13万件B[设y＝f(x)，即f(x)＝－13x3＋81x－234.故f′(x)＝－x2＋81.令f′(x)＝0，即－x2＋81＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)．当0＜x＜9时，f′(x)＞0，函数y＝f(x)单调递增；当x＞9时，f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减．因此，当x＝9时，y＝f(x)取最大值．故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝13x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()A．8B．203C．－1D．－8C[由题意，f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，∵0≤x≤5，∴x＝1时，f′(x)的最小值为－1，即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1.]3．做一个容积为256m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为()A．6mmB．8mC．4mmD．2mC[设底面边长为xm，高为hm，则有x2h＝256，所以h＝256x2.所用材料的面积设为Sm2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·256x2＋x2＝256×4x＋x2.S′＝2x－256×4x2，令S′＝0，得x＝8，因此h＝25664＝4(m)．]4．某一件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为______元时，利润最大．115[利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000，S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0，得x＝115，这时利润达到最大．]面积、体积的最值问题【例1】请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[解]设包装盒的高为hcm，底面边长为acm.由已知得a＝2x，h＝60－2x2＝2(30－x)，0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以当x＝15时，S取得最大值．(2)V＝a2h＝22(－x3＋30x2)，V′＝62x(20－x)．由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．此时ha＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.1．立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题．2．解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．1．周长为20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm3.400027π[设矩形的长为xcm，则宽为(10－x)cm(0＜x＜10)．由题意可知圆柱体积为V＝πx2(10－x)＝10πx2－πx3.∴V′＝20πx－3πx2，令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝203，且当x∈0，203时，V′(x)＞0，当x∈203，10时，V′(x)＜0，∴当x＝203时，V(x)max＝400027πcm3.]用料最省、成本(费用)最低问题【例2】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．思路探究：(1)由C(0)＝8可求k的值从而求出f(x)的表达式．(2)求函数式f(x)的最小值．[解](1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝403x＋5.而建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×403x＋5＋6x＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－24003x＋52，令f′(x)＝0，即24003x＋52＝6，解得x＝5或x＝－253(舍去)．当0x5时，f′(x)0，当5x10时，f′(x)0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元．1．用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．2．利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．2．甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P＝119200v4－1160v3＋15v，(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．[解](1)Q＝P·400v＝119200v4－1160v3＋15v·400v＝119200v3－1160v2＋15·400＝v348－52v2＋6000(0v≤100)．(2)Q′＝v216－5v，令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80，当0v80时，Q′0；当80v≤100时，Q′0，∴v＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Qmin＝Q(80)＝20003(元).利润最大、效率最高问题[探究问题]1．在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？[提示]根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．2．你能列举几个有关利润的等量关系吗？[提示](1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．【例3】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．思路探究：(1)根据x＝5时，y＝11求a的值．(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值．[解](1)因为x＝5时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2.(2)由(1)知，该商品每日的销售量y＝2x－3＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)2x－3＋10x－62＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6，从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)·(x－6)，于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)↗极大值42↘由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．(变条件)本例条件换为：该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克，1＜x≤12)满足：当1＜x≤4时，y＝a(x－3)2＋bx－1，(a，b为常数)；当4＜x≤12时，y＝2800x－100.已知当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该特产800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克．(1)求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；(2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f(x)最大，(7≈2.65)[解](1)由题意：x＝2时y＝800，∴a＋b＝800，又∵x＝3时y＝150，∴b＝300，可得a＝500.∴y＝500x－32＋300x－1，1＜x≤42800x－100，4＜x≤12，(2)由题意：f(x)＝y(x－1)＝500x－32x－1＋300，1＜x≤42800x－100x－1，4＜x≤12，当1＜x≤4时，f(x)＝500(x－3)2(x－1)＋300＝500x3－3500x2＋7500x－4200，f′(x)＝500(3x－5)(x－3)，∴由f′(x)＞0，得53＜x＜3，∴f(x)在1，53，(3,4)上递增，在53，3上递减，∵f53＝80009＋450＜f(4)＝1800，∴当x＝4时有最大值，f(4)＝1800当4＜x≤12时，f(x)＝2800x－100(x－1)＝2900－100x＋2800x≤2900－4007≈1840，当且仅当100x＝2800x，即x＝27≈5.3时取等号，∴x＝5.3时有最大值1840，∵1800＜1840，∴当x＝5.3时f(x)有最大值1840，即当销售价格为5.3元的值，使店铺所获利润最大．利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．1．某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)＝x260－x2(0x60)，则当箱子的体积最大时，箱子底面边长为()A．30B．40C．50D．60B[V′(