2019-2020学年高中数学 第1章 集合与函数概念 1.2.2 函数的表示法（第2课时）分段函数

第2课时分段函数与映射学习目标核心素养1．了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(重点，难点)2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．(重点、难点)3．通过本节内容的学习，使学生了解分段函数的含义，提高学生数学建模、数学运算的能力．(重点)1．通过分段函数求值问题培养数学运算素养．2．利用分段函数解决实际问题，培养数学建模素养．1．分段函数如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．思考：分段函数是一个函数还是几个函数？[提示]分段函数是一个函数，而不是几个函数．2．映射设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．1．已知集合A＝{a，b}，集合B＝{0，1}，下列对应不是A到B的映射的是()ABCDC[选项C中不但b元素没有对应的元素，而且元素a所对应的元素不唯一确定，不符合映射的定义，故选C.]2．下列给出的式子是分段函数的是()①f(x)＝x2＋1，1≤x≤5，2x，x1.②f(x)＝x＋1，x∈R，x2，x≥2.③f(x)＝2x＋3，1≤x≤5，x2，x≤1.④f(x)＝x2＋3，x0，x－1，x≥5.A．①②B．①④C．②④D．③④B[结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选B.]3．函数f(x)＝x＋1，x≤1，－x＋3，x1，则f(f(4))＝________．0[∵f(4)＝－4＋3＝－1，f(－1)＝－1＋1＝0，∴f(f(4))＝f(－1)＝0.]分段函数的求值问题【例1】已知函数f(x)＝x＋1，x≤－2，x2＋2x，－2x2，2x－1，x≥2.(1)求f(－5)，f(－3)，ff－52的值；(2)若f(a)＝3，求实数a的值．[解](1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2，2)，－52∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－23.∵f－52＝－52＋1＝－32，而－2－322，∴ff－52＝f－32＝－322＋2×－32＝94－3＝－34.(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2－2，不合题意，舍去．当－2a2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.∴(a－1)(a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3.∵1∈(－2，2)，－3(－2，2)，∴a＝1符合题意．当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.1．分段函数求函数值的方法：(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．2.已知函数值求字母取值的步骤：(1)先对字母的取值范围分类讨论．(2)然后代入不同的解析式中．(3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．1.函数f(x)＝x－3，x≥10，f（f（x＋5）），x10，则f(7)＝________．8[∵函数f(x)＝x－3，x≥10，f（f（x＋5）），x10，∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8.]分段函数的解析式【例2】如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为22cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．思路点拨：可按点E所在的位置分E在线段AB，E在线段AD及E在线段CD三类分别求解．[解]过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝22cm，所以BG＝AG＝DH＝HC＝2cm，又BC＝7cm，所以AD＝GH＝3cm.(1)当点F在BG上，即x∈[0，2]时，y＝12x2；(2)当点F在GH上，即x∈(2，5]时，y＝x＋x－22×2＝2x－2；(3)当点F在HC上，即x∈(5，7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝12(7＋3)×2－12(7－x)2＝－12(x－7)2＋10.综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为y＝12x2，x∈[0，2]，2x－2，x∈（2，5]，－12（x－7）2＋10，x∈（5，7].图象如图所示．1．当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．2．通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养学生的建模素养．2．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．[解]设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0，20]．由题意得函数的解析式如下：y＝2，0x≤5，3，5x≤10，4，10x≤15，5，15x≤20.函数图象如图所示：分段函数的图象及应用[探究问题]1．函数f(x)＝|x－2|能用分段函数的形式表示吗？能否作出其图象？提示：能．f(x)＝x－2，x≥2，2－x，x2.函数f(x)的图象如图所示．2．结合探究点1，你能说一下画含有绝对值的函数图象的方法吗？提示：含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．【例3】已知函数f(x)＝1＋|x|－x2(－2x≤2)．(1)用分段函数的形式表示f(x)；(2)画出f(x)的图象；(3)写出函数f(x)的值域．思路点拨：(1)分－2x0和0≤x≤2两种情况讨论，去掉绝对值可把f(x)写成分段函数的形式；(2)利用(1)的结论可画出图象；(3)由(2)中得到的图象，找到图象最高点和最低点的纵坐标，可得值域．[解](1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋x－x2＝1，当－2x0时，f(x)＝1＋－x－x2＝1－x，∴f(x)＝1，0≤x≤2，1－x，－2x0.(2)函数f(x)的图象如图所示．(3)由(2)知，f(x)在(－2，2]上的值域为[1，3)．分段函数图象的画法作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．1．在本例条件不变的情况下，试讨论直线y＝a与函数y＝f(x)图象的交点个数．[解]①当a≥3或a1时，y＝a与y＝f(x)的图象无交点；②当1a3时，y＝a与y＝f(x)的图象有且只有一个交点；③当a＝1时，y＝a与y＝f(x)的图象有无数个交点．2．把本例条件改为“f(x)＝|x|－2”，再求本例的3个问题．[解](1)f(x)＝|x|－2＝x－2，x≥0，－x－2，x0.(2)函数的图象如图所示．(3)由图可知，f(x)的值域为[－2，＋∞)．映射的概念【例4】下列对应是A到B的映射的有()①A＝R，B＝R，f：x→y＝1－xx＋1；②A＝{2018年俄罗斯世界杯足球赛的运动员}，B＝{2018年俄罗期世界杯足球赛的运动员的体重)，f：每个运动员对应自己的体重；③A＝{非负实数}，B＝R，f：x→y＝3x.A．0个B．1个C．2个D．3个C[①中，对于A中的元素－1，在B中没有与之对应的元素，则①不是映射；②中，由于每个运动员都有唯一的体重，则②是映射；③中，对于A中的任一元素，在B中都有唯一的元素与之对应，则③是映射．]判断一个对应是不是映射的2个关键(1)对于A中的任意一个元素，在B中是否有元素与之对应．(2)B中的对应元素是不是唯一的．提醒：“一对一”或“多对一”的对应都是映射．3．已知A＝{1，2，3，…，9)，B＝R，从集合A到集合B的映射f：x→x2x＋1.(1)与A中元素1相对应的B中的元素是什么？(2)与B中元素49相对应的A中的元素是什么？[解](1)A中元素1，即x＝1，代入对应关系得x2x＋1＝12×1＋1＝13，即与A中元素1相对应的B中的元素是13.(2)B中元素49，即x2x＋1＝49，解得x＝4，因此与B中元素49相对应的A中的元素是4.1．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．2．判断一个对应是不是映射，先看第一集合A：看集合A中的每一个元素是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一；至于集合B中的元素不作任何要求.1．思考辨析(1)映射中的两个非空集合并不一定是数集．()(2)分段函数由几个函数构成．()(3)函数f(x)＝x＋1，x≤1，－x＋3，x1是分段函数．()(4)若A＝R，B＝{x|x0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．设函数f(x)＝x2＋1，x≤1，2x，x1，则f(f(3))＝()A．15B．3C．23D．139D[∵f(3)＝23≤1，∴f(f(3))＝232＋1＝139.]3．函数y＝f(x)的图象如图所示，则其解析式为________．f(x)＝2x，0≤x≤1，2，1x2，3，x≥2[当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，又过点(1，2)，故k＝2，∴f(x)＝2x；当1x2时，f(x)＝2；当x≥2时，f(x)＝3.综上f(x)＝2x，0≤x≤1，2，1x2，3，x≥2.]4．已知f(x)＝x2，－1≤x≤1，1，x1或x－1.(1)画出f(x)的图象；(2)求f(x)的定义域和值域．[解](1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]，当x1或x－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0，1]．