2019-2020学年高中数学 第1章 计数原理章末跟踪测评 新人教A版选修2-3

第一章计数原理章末跟踪测评(时间：120分钟满分：150分)题号一二三总分171819202122得分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有()A．10种B．20种C．25种D．32种D解析5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25＝32种．故选D项．2．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有()A．36种B．48种C．96种D．192种C解析甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有C24·C34·C34＝96种．故选C项．3．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有()A．1440种B．960种C．720种D．480种B解析5名志愿者先排成一排，有A55种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有A22C14A55＝960种不同的排法．故选B项．4．设x∈N，x55，则(55－x)(56－x)…(68－x)用排列数符号表示是()A．A55－x68－xB．A1368－xC．A1468－xD．A1455－xC解析(55－x)(56－x)…(68－x)＝A1468－x.5．在《爸爸去哪儿》某期节目中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知①食物投掷地点有远、近两处；②由于某位小朋友年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小朋友在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小朋友须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．则不同的搜寻方案有()A．40种B．70种C．80种D．100种A解析若年纪尚小的小朋友不参与该项任务，有C15C24C22＝30种方案；若年纪尚小的小朋友参与该项任务，有C25C33＝10种方案．故共有30＋10＝40种方案．6．若x－3xn的展开式中各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x项的系数为()A．15B．－15C．10D．－10B解析x－3xn的展开式中各项系数绝对值之和等于x＋3xn的展开式中各项系数之和，故令x＝1，得4n＝1024，所以n＝5，所以Tr＋1＝Cr5(x)5－r－3xr＝(－3)rCr5x5－3r2.令5－3r2＝1，解得r＝1，所以T2＝C15(－3)1x＝－15x，故展开式中x项的系数为－15.7．某同学忘记了自己的QQ号，但记得QQ号是由一个1，一个2，两个5和两个8组成的六位数，于是用这六个数随意排成一个六位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ号最多尝试次数为()A．96B．180C．360D．720B解析根据题意，其QQ号由1,2,5,5,8,8共6个数字组成，将这6个数字全排列，有A66种情况，而这6个数字中有两个5和两个8，则共可以组成A66A22A22＝180个六位数，那么他找到自己的QQ号最多尝试180次．8．设函数f(x)＝x－1x6，x0，－x，x≥0，则当x0时，f(f(x))表达式的展开式中常数项为()A．－20B．20C．－15D．15A解析依据分段函数的解析式，得f(f(x))＝f(－x)＝－x＋1x6＝x－1x6，由通项Tr＋1＝Cr6(－1)rx3－r，可得常数项为C36(－1)3＝－20.9.把7个字符1,1,1，A，A，α，β排成一排，要求三个“1”两两不相邻，且两个“A”也不相邻，则这样的排法共有()A．12种B．30种C．96种D．144种C解析先排列A，A，α，β，若A，A不相邻，有A22C23＝6种，若A，A相邻，有A33＝6种，共有6＋6＝12种，从所形成的5个空中选3个插入1,1,1，共有12C35＝120种．若A，A相邻时，从所形成的4个空中选3个插入1,1,1，共有6C34＝24种，故三个“1”两两不相邻，且两个“A”也不相邻，则这样的排法共有120－24＝96种．故选C项．10．若数列{an}满足规律：a1a2a3…a2n－1a2n…，则称数列{an}为余弦数列，现将1,2,3,4,5排列成一个余弦数列的排法种数为()A．12B．14C．16D．18C解析当a1，a3，a5从3,4,5中取值时，a2，a4从1,2中取值，共有A33A22＝12种；当a1，a3，a5依次取2,4,5时，a2，a4依次取1,3，有1种；当a1，a3，a5依次取2,5,4时，a2，a4依次取1,3，有1种；a1，a3，a5依次取4,5,2时，a2，a4依次取3,1，有1种；当a1，a3，a5依次取5,4,2时，a2，a4依次取3,1，有1种．由分类加法计数原理得，不同的排法为12＋4＝16种．故选C项．11.12x＋128＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7＋a8x8，其中ak(k＝0,1,2，…，7,8)是常数，则a1＋2a2＋3a3＋…＋7a7＋8a8的值为()A．4B．3C．2D．1A解析因为12x＋128＝128(x＋1)8＝128·(C08x8＋C18x7＋…＋C78x＋C88)，所以a1＋2a2＋3a3＋…＋7a7＋8a8＝128(C78＋2C68＋…＋8C08)．设T＝0C88＋1C78＋2C68＋…＋8C08，T＝8C08＋7C18＋…＋0C88，所以2T＝8(C08＋C18＋…＋C88)，即T＝4×28，所以a1＋2a2＋3a3＋…＋7a7＋8a8＝4.12．如图为与杨辉三角结构相似的“巴斯卡”三角，这个三角的构造方法是：除第1行为1外，其余各行中的每一个数，都等于它右肩上的数乘以右肩所在的行数，再加上左肩而得．例如第5行第3个数是35，它的右肩为6，左肩为11，右肩所在的行数为4，所以35＝6×4＋11.这个三角中的数与下面这个展开式中的系数有关：x(x＋1)(x＋2)…[x＋(n－1)]＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x.则在“巴斯卡”三角中，第8行从左到右的第2个数到第7个数之和为()A．322559B．35279C．5880D．322560B解析由已知中“巴斯卡”三角的前5行可得，第n行的第1个数为(n－1)！，故第8行的第1个数为7！，第9行的第1个数为8！.又因为第1行的累加和等于第2行的第1个数；第2行的累加和等于第3行的第1个数；第3行的累加和等于第4行的第1个数；第4行的累加和等于第5行的第1个数；……故第8行的所有数的和为第9行的第1个数8！，设第8行从左到右的第2个数到第7个数之和为S，则S＋7！＋1＝8！，故S＝8！－7！－1＝35279.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上)13．(2017·山东卷)已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________.解析由二项式定理的通项公式Tr＋1＝Crn(3x)r＝Crn·3r·xr，令r＝2得C2n·32＝54，解得n＝4.答案414．用二项式定理计算9.985，精确到1的近似值为________.解析9.985＝(10－0.02)5＝105－C15×104×0.02＋C25×103×(0.02)2－C35×102×(0.02)3＋C45×10×(0.02)4－C55×(0.02)5＝105－103＋4－0.008＋…≈99004.答案9900415．若C23＋C24＋C25＋…＋C2n＝363，则自然数n＝________.解析C33＋C23＋C24＋C25＋…＋C2n＝363＋1⇒C34＋C24＋C25＋…＋C2n＝364⇒C35＋C25＋…＋C2n＝…＝C3n＋1＝364，故n＝13.答案1316．已知函数f(x)＝ln(x2＋1)的值域为{0,1,2}，则满足这样条件的函数的个数为________.解析因为值域为{0,1,2}，即ln(x2＋1)＝0⇒x＝0，ln(x2＋1)＝1⇒x＝±e－1，ln(x2＋1)＝2⇒x＝±e2－1，所以定义域取值即在这5个元素中选取，①当定义域有3个元素时，有C11C12C12＝4种取法，②当定义域中有4个元素时，有C11C34＝4种取法，③当定义域中有5个元素时，有1种取法．所以共有4＋4＋1＝9个这样的函数．答案9三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)解方程．(1)A42x＋1＝140A3x；(2)Cn＋1n＋3＝Cn－1n＋1＋Cnn＋1＋Cn－2n.解析(1)因为A42x＋1＝140A3x，所以2x＋1≥4，x≥3且x∈N，2x＋12x2x－12x－2＝140xx－1x－2，即x≥3且x∈N，2x＋12x－1＝35x－2，即x≥3且x∈N，4x2－35x＋69＝0，解得x＝3.(2)因为Cn＋1n＋3＝Cn－1n＋1＋Cnn＋1＋Cn－2n，所以C2n＋3＝C2n＋1＋C1n＋1＋C2n，即C2n＋2＋C1n＋2＝C2n＋2＋C2n，即C1n＋2＝C2n，所以n＋2＝nn－12，解得n＝4.18．(本小题满分12分)已知(x－3x)n二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为512.(1)求n的值；(2)求展开式的所有有理项．解析(1)由题可知C0n＋C2n＋…＝2n－1＝512＝29，所以n－1＝9，即n＝10.(2)Tr＋1＝Cr10(x)10－r·(－3x)r＝(－1)rCr10x10－r2＋r3＝(－1)rCr10x5－r6(r＝0,1，…，10)，因为5－r6∈Z，所以r＝0或6，有理项为T1＝C010x5＝x5，T7＝C610x4＝210x4.19．(本小题满分12分)已知6个人坐在一排10个座位上．(1)求空位不相邻的坐法种数；(2)求4个空位只有3个相邻的坐法种数．解析6个人排有A66种，6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位．(1)空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中，有C47＝35种插法，故空位不相邻的坐法有A66C47＝25200种．(2)将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个“间隔”里插，有A27种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有A66A27＝30240种．20．(本小题满分12分)从{－3，－2，－1,0,1,2,3,4}中任选三个不同元素作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数，问能组成多少条图象为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线？解析抛物线经过原点，得c＝0，当顶点在第一象限时，a0，－b2a0，即a0，b0，则有C13C14种；当顶点在第三象限时，a0，－b2a0，即a0，b0，则有A24种．共计有C13C14＋A24＝24种．21．(本小题满分12分)已知A5n＝56C7n，且(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn.(1)求n的值；(2)求a1＋a2＋a3＋…＋an的值．解析(1)因为A5n＝56C7n，所以n！n－5！＝56×n！7！n－7！，化简得n2－11n－60＝0，解得n＝15，n＝－4(舍)．(2)令x＝0，得a0＝1，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋an＝－1，所以a1＋a2＋a3＋…＋an＝－2.22．(本小题满分12分)已知(3x＋x2)2n的展开式的系数和比(3x－1)n的展开式的系数和大992，求2x－1x2n的展开式中满足下列条件的项．(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．解析由题意知22n－2n＝992，解得n＝5.(1)2x－1x10的展开式中第6项的二项式系数最大，即T6＝C510·(