2019-2020学年高中数学 第1章 解三角形 1.2 应用举例 第3课时 三角形中的几何计算练习

第三课时三角形中的几何计算课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于()A．12B．212C．28D．63解析：选D由余弦定理的推论，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝9＋64－492×3×8＝12，故A＝60°.∴S△ABC＝12bcsinA＝12×3×8×32＝63.故选D.2．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为()A．75°B．60°C．45°D．30°解析：选B∵S△ABC＝12absinC，即33＝12×4×3sinC，∴sinC＝32.∵△ABC为锐角三角形，∴C＝60°，故选B.3．在△ABC中，已知(b＋c)∶(a＋c)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于()A．6∶5∶4B．7∶5∶3C．3∶5∶7D．4∶5∶6解析：选B∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，∴b＋c4＝c＋a5＝a＋b6.令b＋c4＝c＋a5＝a＋b6＝k(k0)，则b＋c＝4kc＋a＝5ka＋b＝6k，解得a＝72k，b＝52k，c＝32k，∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶5∶3.故选B.4．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是()A．3B．932C.332D．33解析：选C由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a－b)2＋6，∴ab＝6，∴S△ABC＝12absinC＝12×6×32＝332.故选C.5．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆半径为()A.922B．924C.928D．229解析：选C不妨设c＝2，b＝3，则cosA＝13，sinA＝223.∵a2＝b2＋c2－2bccosA，∴a2＝32＋22－2×3×2×13＝9，∴a＝3.∵asinA＝2R，∴R＝a2sinA＝32×223＝928.故选C.6．在△ABC中，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝.解析：由sinC＝23sinB，根据正弦定理，得c＝23b，代入a2－b2＝3bc，得a2－b2＝6b2，即a2＝7b2.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋12b2－7b22b·23b＝6b243b2＝32.又∵0°A180°，∴A＝30°.答案：30°7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝12a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为．解析：由2sinB＝3sinC及正弦定理可得，2b＝3c，由b－c＝12a可得a＝c，b＝32c，由余弦定理可得cosA＝b2＋c2－a22bc＝34.答案：348．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sinBsinC的值为．解析：由余弦定理可得49＝AC2＋25－2×5×AC×cos120°，整理得，AC2＋5·AC－24＝0，解得AC＝3或AC＝－8(舍去)，再由正弦定理可得sinBsinC＝ACAB＝35.答案：359．在△ABC中，c＝22，ab，tanA＋tanB＝5，tanAtanB＝6，求△ABC的面积．解：∵tanA＋tanB＝5，tanAtanB＝6，且ab，∴tanA＝3，tanB＝2，A，B都是锐角．∴sinA＝31010，cosA＝1010，sinB＝255，cosB＝55，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝22.由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，得a＝6105，b＝855.∴S△ABC＝12absinC＝12×6105×855×22＝245.10．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB＝3b.(1)求角A的大小；(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．解：(1)由2asinB＝3b及正弦定理asinA＝bsinB，得sinA＝32.因为A是锐角，所以A＝π3.(2)因为a＝6，cosA＝12，所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2－bc＝36.又因为b＋c＝8，所以bc＝283.由三角形面积公式得，S＝12bcsinA＝12×283×32＝733.‖层级二‖|应试能力达标|1．已知在△ABC中，三边与面积的关系为S△ABC＝a2＋b2－c243，则cosC的值为()A.12B．22C.32D．0解析：选C∵S△ABC＝12absinC＝a2＋b2－c243＝2abcosC43，∴tanC＝33，C∈(0，π)，∴C＝π6，∴cosC＝32.故选C.2．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sinB＋sinC)＝(a－3c)sinA，则角B的大小为()A．30°B．45°C．60°D．120°解析：选A由正弦定理，得(b－c)(b＋c)＝a(a－3c)，即a2＋c2－b2＝3ac，又由余弦定理得，cosB＝a2＋c2－b22ac＝32，∴B＝30°.故选A.3．在△ABC中，有下列关系式：①asinB＝bsinA；②a＝bcosC＋ccosB；③a2＋b2－c2＝2abcosC；④b＝csinA＋asinC.一定成立的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCcosB，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sinB＝sinCsinA＋sinAsinC＝2sinAsinC，又sinB＝sin(A＋C)＝cosCsinA＋cosAsinC，与上式不一定相等，所以④不一定成立，故选C.4．若△ABC的内角A，B，C满足6sinA＝4sinB＝3sinC，则cosB＝()A.154B．34C.31516D．1116解析：选D∵6sinA＝4sinB＝3sinC，由正弦定理得，∴6a＝4b＝3c，∴b＝32a，c＝2a.由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－94a22a×2a＝1116.故选D.5．在△ABC中，BC＝3，AB＝2，且sinCsinB＝25(6＋1)，则A＝.解析：由题意得a＝3，c＝2，且由正弦定理，得sinCsinB＝25(6＋1)＝cb，∴b＝2256＋1＝6－1，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12，∴A＝120°.答案：120°6．在△ABC中，BC＝8，AC＝5，且S△ABC＝12，则cos2C＝.解析：因为S△ABC＝12AC·BCsinC＝20sinC＝12，则sinC＝35，所以cos2C＝1－2sin2C＝1－2×352＝725.答案：7257．已知三角形两边长分别为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为．解析：如图，AB＝1，BD＝1，BC＝3，设AD＝DC＝x，在△ABD中，cos∠ADB＝x2＋1－12x＝x2，在△BDC中，cos∠BDC＝x2＋1－32x＝x2－22x，∵∠ADB与∠BDC互补，∴cos∠ADB＝－cos∠BDC，∴x2＝－x2－22x，∴x＝1，∴∠A＝60°，由3sin60°＝2R，得R＝1.答案：18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosAa＋cosBb＝sinCc.(1)证明：sinAsinB＝sinC；(2)若b2＋c2－a2＝65bc，求tanB．解：(1)证明：根据正弦定理，可设asinA＝bsinB＝csinC＝k(k0)．则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC.代入cosAa＋cosBb＝sinCc中，有cosAksinA＋cosBksinB＝sinCksinC，变形可得sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)．在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，所以sinAsinB＝sinC.(2)由已知，b2＋c2－a2＝65bc，根据余弦定理，有cosA＝b2＋c2－a22bc＝35.所以sinA＝1－cos2A＝45.由(1)知，sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以45sinB＝45cosB＋35sinB，故tanB＝sinBcosB＝4.