2019-2020学年高中数学 第1章 解三角形 1.2 应用举例（第1课时）解三角形的实际应用举例

第1课时解三角形的实际应用举例学习目标核心素养1.能将实际问题转化为解三角形问题(难点).2.能够用正、余弦定理求解与距离、高度有关的实际应用问题(重点)．通过利用正、余弦定理求解实际问题中的长度、高度，培养学生的直观想象及数学建模素养.1．基线的概念与选择原则(1)定义在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线．(2)性质在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．思考：在本章“解三角形”引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？[提示]利用正弦定理和余弦定理．2．测量中的有关角的概念(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图所示)．(2)方向角从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.(如图所示)思考：李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？[提示]东南方向．1．如图所示，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应选用数据()A．α，a，bB．α，β，aC．a，b，γD．α，β，bC[选择a，b，γ可直接利用余弦定理AB＝a2＋b2－2abcosγ求解．]2．小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为β，则小强观测山顶的仰角为()A．α＋βB．α－βC．β－αD．αC[如图所示，设小强观测山顶的仰角为γ，则β－γ＝α，因此γ＝β－α，故选C项．]3．某人先向正东方向走了xkm，然后他向右转150°，向新的方向走了3km，结果他离出发点恰好为3km，那么x的值为()A．3B．23C．23或3D．3C[如图，在△ABC中由余弦定理得3＝9＋x2－6xcos30°，即x2－33x＋6＝0，解之得x＝23或3.]4．如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得树尖的仰角分别为30°和45°，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为()A．(30＋303)mB．(30＋153)mC．(15＋303)mD．(15＋33)mA[由正弦定理可得60sin（45°－30°）＝PBsin30°，则PB＝60×12sin15°＝30sin15°(m)，设树的高度为h，则h＝PBsin45°＝(30＋303)m.]测量距离问题【例1】海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是()A．103海里B．1063海里C．52海里D．56海里D[根据题意，可得如图所示．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°.由正弦定理可得ABsinC＝BCsinA，即1022＝BC32，∴BC＝56(海里)．]三角形中与距离有关的问题的求解策略(1)解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．1．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则河的宽度为________m.60[由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，∴△ABC为等腰三角形．河宽即AB边上的高，这与AC边上的高相等，过B作BD⊥AC于D，∴河宽＝BD＝120·sin30°＝60(m)．]测量高度问题【例2】(1)如图所示，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于()A．100米B．503米C．502米D．50(3＋1)米(2)在一幢20m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是()A．201＋33mB．20(1＋3)mC．10(6＋2)mD．20(6＋2)m思路探究：(1)解决本题关键是求AB时确定在哪一个三角形中求解，该三角形是否可解．(2)解决本题关键是画出示意图．(1)D(2)B[(1)设山高为h，则由题意知CB＝h，DB＝3h，∴3h－h＝100，即h＝50(3＋1)．(2)如图，由条件知四边形ABCD为正方形，∴AB＝CD＝20m，BC＝AD＝20m.在△DCE中，∠EDC＝60°，∠DCE＝90°，CD＝20m，∴EC＝CD·tan60°＝203m，∴BE＝BC＋CE＝(20＋203)m.选B.]解决测量高度问题的一般步骤(1)画图：根据已知条件画出示意图．(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形．(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用．2.某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图所示，竖直放置的标杆BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值．[解]由AB＝Htanα，BD＝htanβ，AD＝Htanβ及AB＋BD＝AD，得Htanα＋htanβ＝Htanβ，解得H＝htanαtanα－tanβ＝4×1.241.24－1.20＝124.因此电视塔的高度H是124m.与立体几何有关的测量问题[探究问题]1．已知A，B是海平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足．试画出符合题意的示意图．[提示]用线段CD表示山，用△DAB表示海平面．结合题中相应的距离及角度，画出立体图形，如图所示．2．在探究1中若要求山高CD怎样求解？[提示]由探究1知CD⊥平面ABD，首先在△ABD中利用正弦定理求出AD的长，然后在Rt△ACD中求出CD.【例3】如图所示，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.思路探究：利用方程的思想，设AB＝h.表示出BC＝h，BD＝htan30°＝3h，然后在△BCD中利用余弦定理求解．[解]在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若设AB＝h，则BC＝h.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝3h.在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，即2002＝h2＋(3h)2－2·h·3h·32，所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)，即塔高AB＝200米．(变条件)若将例题中的条件“CD＝200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°”改为“CD＝800米，在D点测得塔顶A的仰角为45°，∠CDB＝120°，又在C点测得∠DCB＝45°.”求塔高AB.[解]在△BCD中，∠CBD＝180°－120°－45°＝15°，CD＝800m，∠BCD＝45°，由正弦定理，CDsin∠CBD＝BDsin∠BCD，BD＝CD·sin∠BCDsin∠CBD＝800×222232－12＝800(3＋1)m，又∠ADB＝45°，AB＝BD.∴AB＝800(3＋1)m.即山的高度为800(3＋1)m.测量高度问题的两个关注点(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．1．本节课要掌握三类问题的解法(1)测量距离问题．(2)测量高度问题．(3)与立体几何有关的测量问题．2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理和余弦定理解之．(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.1．判断正误(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边．()(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得．()(3)东偏北45°的方向就是东北方向．()(4)仰角与俯角所在的平面是铅垂面．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√[提示]已知三角形中至少知道一条边才能解三角形，故(1)错．两个不可到达的点之间的距离可以用解三角形的方法求出，故(2)错．2．身高相同的甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有()A．d1d2B．d1d2C．d120mD．d220mB[如图，设旗杆高为h，则d1＝htan50°，d2＝htan40°.因为tan50°tan40°，所以d1d2.]3．一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，且与它相距82海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，此船的航速是()海里/小时．A．8(6＋2)B．8(6－2)C．16(6＋2)D．16(6－2)D[由题意得在三角形SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.由正弦定理得SAsin105°＝ABsin45°，即82sin105°＝ABsin45°，得AB＝8(6－2)，因此此船的航速为8（6－2）12＝16(6－2)(海里/小时)．]4．在高出海平面200m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为________m.200(3＋1)[过点A作AH⊥BC于点H，由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200m，则BH＝AH＝200m，CH＝AH·tan60°＝2003m.故两船距离BC＝BH＋CH＝200(3＋1)m.]5．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为126海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为83海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120°，求：(1)A处与D处之间的距离；(2)灯塔C与D处之间的距离．[解]由题意，画出示意图．(1)在△ABD中，由已知∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝126.由正弦定理得AD＝ABsin60°·sin45°＝24(海里)．(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°＝242＋(83)2－2×24×83×32＝(83)2，∴CD＝83(海里)．即A处与D处之间的距离为24海里，C、D之间的距离为83海里．