2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 1.2.2 空间中的平行关系（第1课时）平行直

第1课时平行直线、直线与平面平行学习目标核心素养1.能认识和理解空间直线平行的传递性，了解等角定理．(重点)2．掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题．(重点)3．利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题．(难点)1.通过空间直线平行的传递性及等角定理的学习，培养直观想象的数学核心素养．2．借助直线与平面平行的判定与性质的学习，提升数学抽象、逻辑推理的数学核心素养.1．基本性质4文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．符号表述：a∥bb∥c⇒a∥c.2．等角定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．思考：空间中如果两个角的两边分别对应平行，这两个角具有什么关系？[提示]相等或互补．3．直线与平面的平行位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝Aa∥α图形表示4.直线与平面平行的判定及性质定理条件结论图形语言符号语言判定不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行这条直线和这个平面平行________ll⊄α，m⊂α，l∥m⇒l∥α性质一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交这条直线和这两个平面的交线平行l∥α，l⊂β，α∩β＝m⇒l∥m1．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于()A．30°B．30°或150°C．150°D．以上结论都不对B[因为AB∥PQ，BC∥QR，所以∠PQR与∠ABC相等或互补．因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°.]2．下列条件中能确定直线a与平面α平行的是()A．a⊄α，b⊂α，a∥bB．b⊂α，a∥bC．b⊂α，c⊂α，a∥b，a∥cD．b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BDA[由直线与平面平行的判定定理知选A.]3．正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是________．相交[直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．]基本性质4、等角定理的应用【例1】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.[思路探究](1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证其一组对边平行且相等；(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明．[证明](1)∵ABCD­A1B1C1D1为正方体．∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M、M1分别为棱AD、A1D1的中点，∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)法一由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，∴∠BMC＝∠B1M1C1.法二由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1＝BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，∴∠BMC＝∠B1M1C1.1．空间两条直线平行的证明一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用基本性质4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．2．求证角相等一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．1.如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.[证明](1)在△ABD中，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH∥BD.同理FG∥BD，则EH∥FG.故E，F，G，H四点共面．(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四边形EFGH是矩形，∴EH⊥GH.故AC⊥BD.直线与平面的位置关系【例2】下列说法：①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中说法正确的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个B[对于①，直线a在平面α外包括两种情况：a∥α或a与α相交，∴a和α不一定平行，∴①说法错误．对于②，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，∴②说法错误．对于③，∵a∥b，b⊂α，∴a⊂α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行，∴③说法正确．]空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．2．下列说法中，正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行；③两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行．A．0B．1C．2D．3C[易知①正确，②正确．③中两条相交直线中一条与平面平行，另一条可能平行于平面，也可能与平面相交，故③错误．选C.]直线与平面平行的判定与性质[探究问题]1．如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)是否都和平面α平行？[提示]平行．2．若直线l∥平面α，则l平行于平面α内的所有直线吗？[提示]不是．3．若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？这些平面与α的交线与直线a有什么关系？[提示]若a∥α，则过a且与α相交的平面有无数个．这些平面与α的交线与直线a之间相互平行．【例3】如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．[思路探究]应用线面平行的性质定理．[解]因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四边形．1．若本例条件不变，求证：BPPD＝AMMC.[解]由例题解知：PQ∥AB，∴BPPD＝AQQD.又QM∥DC，∴AQQD＝AMMC，∴BPPD＝AMMC.2．若本例中添加条件：AB⊥CD，AB＝10，CD＝8，且BP∶PD＝1∶1，求四边形MNPQ的面积．[解]由例题解知，四边形MNPQ是平行四边形，∵AB⊥CD，∴PQ⊥QM，∴四边形MNPQ是矩形．又BP∶PD＝1∶1，∴PQ＝5，QM＝4，∴四边形MNPQ的面积为5×4＝20.判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下：线线平行――――――→在平面内作或找一直线[解]已知：a∥b，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l.求证：a∥b∥l.证明：如图所示，∵a∥b，b⊂β，∴a∥β，又a⊂α，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b，∴a∥b∥l.