2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用练习 新人教A版必修

1EvaluationWarning:ThedocumentwascreatedwithSpire.Docfor.NET.1.6三角函数模型的简单应用课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sint2(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的()A．[0,5]B．[5,10]C．[10,15]D．[15,20]解析：选C由2kπ－π2≤t2≤2kπ＋π2，k∈Z，知函数F(t)的单调递增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]而[10,15]⊆[3π，5π]故选C．2．如图，一个大风车的半径为8m，每12min旋转一周，最低点离地面2m．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系是()A．h＝8cosπ6t＋10B．h＝－8cosπ3t＋10C．h＝－8sinπ6t＋10D．h＝－8cosπ6t＋10解析：选D排除法：由T＝12，得ω＝π6，排除B；当t＝0时，h＝2，排除A、C．故选D.3．已知简谐振动f(x)＝Asin(ωx＋φ)|φ|π2的振幅是32，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点0，34，则该简谐振动的频率和初相是()A．16，π6B．18，π6C．18，π3D．16，π3解析：选B由题意可知，A＝32，32＋T22＝52，则T＝8，ω＝2π8＝π4，y＝32sinπ4x＋φ，2由32sinφ＝34，∴sinφ＝12，∵|φ|π2，∴φ＝π6，因此频率是18，初相为φ＝π6.故选B.4．在两个弹簧上分别挂一个质量为M1和M2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：s1＝5sin2t＋π6，s2＝5cos2t－π3.则在时间t＝2π3时，s1与s2的大小关系是()A．s1s2B．s1s2C．s1＝s2D．不能确定解析：选C当t＝23π时，s1＝－5，s2＝－5，∴s1＝s2，故选C．5．如图，在某点给单摆一个作用力后它开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系为s＝6sin2πt＋π6，单摆摆动时，从最右边到最左边的距离为()A．63cmB．33cmC．3cmD．6cm解析：选A∵s＝6sin2πt＋π6，∴T＝2πω＝1，从最左边到平衡位置O需要的时间为T4＝14s．由6sin2π×14＋π6＝33，得从最右边到最左边的距离为63.故选A．6．如图是一个单摆的振动图象，根据图象回答下列问题：(1)单摆的振幅为________．(2)振动频率为________．解析：由题中图象，可知(1)单摆的振幅是1cm.(2)单摆的振动频率是1.25Hz.答案：(1)1cm(2)1.25Hz7．某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均3亮度0.2星等，则可近似地描述此星星的亮度与时间之间关系的一个三角函数为________．解析：设所求函数为y＝Asin(ωt＋φ)＋b，由题意知T＝10，得ω＝π5，A＝0.2，b＝3.8.∴y＝0.2sinπ5t＋3.8或y＝0.2sinπ5t＋φ＋3.8.答案：y＝0.2sinπ5t＋3.8或y＝0.2sinπ5t＋φ＋3.88．如图所示，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0,0φπ)，则8时的温度大约为________℃.(精确到1℃)解析：由图象可得B＝20，A＝10，12T＝14－6＝8，∴T＝16＝2πω，∴ω＝π8，∴y＝10sinπ8x＋φ＋20.∵图象的最低点为(6,10)，∴10sinπ8×6＋φ＋20＝10，∴sin3π4＋φ＝－1，∴3π4＋φ＝3π2＋2kπ，k∈Z，∵0φπ，∴φ＝3π4，∴y＝10sinπ8x＋3π4＋20，当x＝8时，y＝10sin7π4＋20＝20－52≈13.答案：139．已知弹簧上挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)与时间t(s)的函数关系式为：h＝3sin2t＋π4.(1)求小球开始振动的位置；(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间；(3)经过多长时间小球往返振动一次？(4)每秒内小球能往返振动多少次？解：(1)令t＝0，得h＝3sinπ4＝322，所以开始振动的位置为平衡位置上方距离平衡位置322cm处．4(2)由题意知，当h＝3时，t的最小值为π8，即小球第一次上升到最高点的时间为π8s；当h＝－3时，t的最小值为5π8，即小球第一次下降到最低点的时间为5π8s.(3)T＝2π2＝π≈3.14，即经过约3.14s小球往返振动一次．(4)f＝1T≈0.318，即每秒内小球往返振动约0.318次．10．(2018·孝感高一统考)如图一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现(图中点P0)时开始计算时间．(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点需要多长时间？解：(1)如图，建立平面直角坐标系，设角φ－π2φ0是以Ox为始边，OP0为终边的角，OP每秒钟所转过的弧度为5×2π60＝π6，又水轮的半径为4m，圆心O距离水面2m，所以z＝4sinπ6t＋φ＋2.当t＝0时，z＝0，得sinφ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数表达式为z＝4sinπ6t－π6＋2.(2)令z＝4sinπ6t－π6＋2＝6，得sinπ6t－π6＝1.取π6t－π6＝π2，得t＝4.故点P第一次到达最高点需要4s.‖层级二‖|应试能力达标|1．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表：月份1234567891011125平均温度－5.9－3.32.29.315.120.322.822.218.211.94.3－2.4则适合这组数据的函数模型是()A．y＝acosπx6B．y＝acosx－1π6＋k(a＞0，k＞0)C．y＝－acosx－1π6＋k(a＞0，k＞0)D．y＝acosπx6－3解析：选C当x＝1时图象处于最低点，且易知k＝－5.9＋22.82＞0.故选C．2．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置P(x，y)．若初始位置为P032，12，当秒针从P0(注：此时t＝0)开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为()A．y＝sinπ30t＋π6，t∈[0，＋∞)B．y＝sin－π60t－π6，t∈[0，＋∞)C．y＝sin－π30t＋π6，t∈[0，＋∞)D．y＝sin－π30t－π3，t∈[0，＋∞)解析：选C由题意可得函数初相位为π6，排除B、D；又T＝60(秒)且秒针按顺时针旋转．即T＝2π|ω|＝60，所以|ω|＝π30，即ω＝－π30.故选C．3．(2018·山东聊城期末)已知点P是单位圆上的一个质点，它从初始位置P012，－32开始，按逆时针方向以角速度1rad/s做圆周运动，则点P的纵坐标y关于运动时间t(单位：s)的函数关系式为()6A．y＝sint－π3，t≥0B．y＝sint－π6，t≥0C．y＝－cost－π3，t≥0D．y＝－cost－π6，t≥0解析：选A由题意，知圆心角∠POP0的弧度数为t·1＝t，则∠POx的弧度数为t－π3，则由任意角的三角函数的定义，知点P的纵坐标y＝sint－π3，t≥0，故选A．4．电流强度I(A)随时间t(s)变化的函数I＝Asin(ωx＋φ)0＜φ＜π2的图象如图所示，则t为7120s时的电流强度为()A．0B．－52C．102D．－102解析：选A由图象知A＝10，T＝2×4300－1300＝150，∴ω＝2πT＝100π，又∵图象过1300，10，∴10＝10sin100π×1300＋φ，即sinπ3＋φ＝1且0＜φ＜π2，∴π3＋φ＝π2，故φ＝π6.∴I＝10sin100πt＋π6，当t＝7120时，I＝100sin100π×7120＋π6＝10sin6π＝0.故选A．5．某城市一年中12个月的月平均气温y与月份x的关系可近似地用函数y＝a＋Acosπ6x－6(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，127月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的月平均气温为________℃.解析：根据题意得28＝a＋A,18＝a－A，解得a＝23，A＝5，所以函数y＝23＋5cosπ6x－6，令x＝10，得y＝23＋5cosπ610－6＝23＋5cos2π3＝20.5.答案：20.56．如图是一弹簧振子做简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的位移关于时间的函数解析式是________．解析：设解析式为y＝Asin(ωt＋φ)(t≥0)，由图象知A＝2，T＝2×(0.5－0.1)＝0.8(s)，∴ω＝2π0.8＝52π，又可知52π×0.1＋φ＝π2，∴φ＝π4.∴函数解析式为y＝2sin52πt＋π4(t≥0)．答案：y＝2sin52πt＋π4(t≥0)7.如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(单位：米)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数关系式为________________．解析：设h＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，由图象知A＝6，T＝12，∴2πω＝12，得ω＝2π12＝π6.点(6,0)为五点作图法中的第一点，故π6×6＋φ＝0，得φ＝－π，∴h＝6sinπ6t－π＝－6sinπ6t(0≤t≤24)．答案：h＝－6sinπ6t(0≤t≤24)8．(2018·华中师大一附中期末)下表给出了某年1月1日和1月2日两天内的潮位(相对于海堤上的零标尺记号，单位：m)．请依据此表预测1月5日下午1时的潮位(π取3.14).8时间0：001：002：003：004：005：006：007：001月1日2.41.2－0.1－1.5－2.5－3.0－2.71.61月2日3.12.00.60.6－2.2－3.0－2.8－2.5时间8：009：0010：0011：0012：0013：0014：0015：001月1日0.22.13.43.62.91.60.2－1.21月2日－0.9－1.12.93.63.42.51.0－1.5时间16：0017：0018：0019：0020：0021：0022：0023：001月1日－2.4－3.0－2.7－2.3－0.71.32.93.61月2日－2.4－3.0－2.73.01.70.22.23.5解：根据表中数据画散点图，并用平滑曲线将其连接起来，如图所示．观察图中曲线，发现可以用y＝Asin(ωt＋φ)来拟合这些散点．其周期约为12.3h，即2πω＝12.3，解得ω≈0.511.由数据可知最高、最低潮位之间的高度差是6.6m，振幅为A＝6.62＝3.3，∴函数的解析式为y＝3.3sin(0.511t＋φ)．又t＝0时，y＝2.4＋3.12≈2.75，∴sinφ＝2.753.3≈0.83，cosφ≈－0.56，利用计算器求得φ≈2.16，从而y＝3.3sin(0.511t＋2.16)．1月5日下午1时，即t＝109时，代入函数解析式，此时