2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 6 余弦函数的图像与性质 6.1 余弦函数的图像

1EvaluationWarning:ThedocumentwascreatedwithSpire.Docfor.NET.6.1余弦函数的图像6.2余弦函数的性质课时跟踪检测一、选择题1．函数y＝－cosx＋sinx的定义域是(以下k∈Z)()A．2kπ＋π2，2kπ＋πB．2kπ＋π2，2kπ＋πC．2kπ＋π2，2kπ＋πD．2kπ＋π2，2kπ＋π解析：－cosx≥0，sinx≥0，即cosx≤0，sinx≥0.∴2kπ＋π2≤x≤π＋2kπ，k∈Z.答案：A2．已知函数f(x)＝cosx2，则下列等式成立的是()A．f(2π－x)＝f(x)B．f(2π＋x)＝f(x)C．f(－x)＝f(x)D．f(π－x)＝f(x)解析：f(－x)＝cos－x2＝cosx2＝f(x)．答案：C3．已知函数f(x)的图像是中心对称图形，如果它的一个对称中心是π2，0，那么f(x)的解析式可以是()A．sinxB．cosxC．sinx＋1D．cosx＋1解析：由于y＝cosx的对称中心是π2＋kπ，0(k∈Z),所以f(x)的解析式可以是cosx.答案：B4．函数y＝lncosx－π2xπ2的图像是()2解析：∵函数的定义域关于原点对称，且f(－x)＝lncos(－x)＝lncosx＝f(x)．∴f(x)为偶函数，排除B、D．当0xπ2时，0cosx1，lncosx0，排除C．答案：A5．函数y＝cosx＋π6，x∈0，π2的值域是()A．－32，12B．－12，32C．32，1D．12，1解析：∵0≤x≤π2，∴π6≤x＋π6≤2π3.∴－12≤cosx＋π6≤32，即值域是－12，32.答案：B6．函数y＝－23cosx，x∈[0,2π]，其单调性()A．在[0，π]上是增函数，在[π，2π]上是减函数B．在π2，3π2上是增函数，在0，π2∪3π2，2π上是减函数C．在[π，2π]上是增函数，在[0，π]上是减函数3D．在0，π2∪3π2，2π上是增函数，在π2，3π2上是减函数解析：∵y＝cosx在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，又y＝－23cosx与y＝cosx的单调性相反，∴y＝－23cosx在[0，π]上是增函数，在[π，2π]上是减函数．答案：A二、填空题7．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos3x＋π6在[0，π]的零点个数为________．解析：∵0≤x≤π，∴π6≤3x＋π6≤19π6，由题可知3x＋π6＝π2，3x＋π6＝3π2或3x＋π6＝5π2，解得x＝π9，4π9或7π9，故有3个零点．答案：38．y＝log3cosx的单调增区间为________．解析：函数定义域为2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)．设y＝log3u，u＝cosx，y＝log3u是增加的．∴u＝cosx的增区间即y＝log3cosx的增区间．答案：2kπ－π2，2kπ(k∈Z)9．在(0,2π)内使sinx＞|cosx|的x的取值范围是________．解析：∵sinx＞|cosx|，∴sinx＞0，∴x∈(0，π)．在同一坐标系中分别画出y＝sinx，x∈(0，π)与y＝|cosx|，x∈(0，π)的图像，由图像得x∈π4，3π4.答案：π4，3π4三、解答题10．已知函数y＝12cosx＋12|cosx|.4(1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；(3)指出这个函数的单调增区间．解：(1)y＝12cosx＋12|cosx|＝cosx，x∈2kπ－π2，2kπ＋π2k∈Z，0，x∈2kπ＋π2，2kπ＋3π2k∈Z.函数图像如图所示．(2)是，由图像知函数的最小正周期是2π.(3)由图像知函数的单调增区间为2kπ－π2，2kπ(k∈Z)．11．画出函数y＝3＋2cosx的简图．(1)求使函数y取得最大值、最小值时x的集合，并分别写出最大值、最小值；(2)讨论函数y的单调性．解：列表如下：x0π2π3π22πcosx10－101y＝3＋2cosx53135描点，画出图像(如图)．(1)当cosx＝1，即x∈{x|x＝2kπ，k∈Z}时，ymax＝3＋2＝5.当cosx＝－1，即x∈{x|x＝(2k＋1)π，k∈Z}时，ymin＝3－2＝1.(2)∵当x∈[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)时，函数y＝cosx是增加的，∴y＝3＋2cosx也是增加的，当x∈[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)时，函数y＝cosx是减少的，∴y＝3＋2cosx也是减少的．12．已知x∈0，π2，求函数y＝cos2x－2acosx的最大值M(a)和最小值m(a)．解：设cosx＝t，则t∈[0,1]，5y＝t2－2at＝(t－a)2－a2.∴当a＜0时，m(a)＝0，M(a)＝1－2a；当0≤a＜12时，m(a)＝－a2，M(a)＝1－2a；当12≤a＜1时，m(a)＝－a2，M(a)＝0；当a≥1时，m(a)＝1－2a，M(a)＝0.∴M(a)＝1－2a，a＜12，0，a≥12，m(a)＝0，a＜0，－a2，0≤a＜1，1－2a，a≥1.13．已知ω＞0，函数f(x)＝2sinωx在－π3，π4上递增，求ω的范围．解：由－π2＋2kπ≤ωx≤π2＋2kπ知2kπ－π2ω≤x≤2kπ＋π2ω.令k＝0知－π2ω≤x≤π2ω，故－π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω＞0⇒0＜ω≤32.∴ω的取值范围是0，32.