2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 9 三角函数的简单应用练习 北师大版必修4

1EvaluationWarning:ThedocumentwascreatedwithSpire.Docfor.NET.9三角函数的简单应用课时跟踪检测一、选择题1．如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将移至()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，选C．答案：C2．函数s＝Asin(ωt＋φ)(A0，ω0)表示一个振动量，振幅是2，频率是32π，初相是π12，则这个函数为()A．s＝2sint3－π6(t≥0)B．s＝12sint3＋π6(t≥0)C．s＝2sin3t＋π12(t≥0)D．s＝12sin3t＋π6(t≥0)解析：由32π＝1T＝ω2π，得ω＝3.又A＝2，φ＝π12，∴s＝2sin3t＋π12.答案：C3．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，做上下自由振动．已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：s1＝5sin2t＋π6；s2＝－10cos2t＋π3.则在时间t＝2π3时，s1与s2的大小关系是()A．s1＞s2B．s1＜s22C．s1＝s2D．不能确定解析：当t＝2π3时，s1＝－5，s2＝－5，∴s1＝s2.答案：C4．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋bA0，ω0，|φ|π2的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为()A．f(x)＝2sinπ4x－π4＋7(1≤x≤12，x∈N＋)B．f(x)＝9sinπ4x－π4(1≤x≤12，x∈N＋)C．f(x)＝22sinπ4x＋7(1≤x≤12，x∈N＋)D．f(x)＝2sinπ4x＋π4＋7(1≤x≤12，x∈N＋)解析：把点(3,9)和(7,5)代入解析式验证知，A、C正确，又由题可知A＋b＝9，－A＋b＝5，得A＝2，b＝7，排除C．故选A．答案：A5．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)A0，ω0，0φπ2的图像如图所示，则当t＝1100秒时，电流强度是()A．－5安B．5安C．53安D．10安解析：解法一：由图知，当t＝1100秒时，电流强度I0，故选A．解法二：由图可知A＝10，周期T＝2×4300－1300＝150，∴ω＝2πT＝100π，∴I＝310sin(100πt＋φ)．当t＝1300时，I取最大值10，∴100π×1300＋φ＝π2，∴φ＝π6.∴I＝10sin100πt＋π6.∴当t＝1100时，I＝10sinπ＋π6＝10×－12＝－5.答案：A6．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP︵的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图像大致是()解析：∵PA︵表示单位圆上的弧长，∴PA︵＝∠POA，即l＝∠POA.过O作弦AP的垂线，则|PA|＝2sinl2，即d＝2sinl2.其图像是周期为4π的正弦曲线，故选C．答案：C二、填空题7．一个单摆如图所示，小球偏离铅垂方向的角为α(rad)，α作为时间t(s)的函数，满足关系α(t)＝12sin2t＋π2.经过________s单摆完成5次完整摆动．解析：由解析式知，周期T＝2π2＝π，∴单摆完成一次完整摆动需要πs，则完成5次完整摆动要经过5πs.答案：5π8．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t4＝0时，点A与钟面上标有12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．解析：将解析式写为d＝Asin(ωt＋φ)的形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，可得ω＝π60，所以d＝10sinπt60.答案：10sinπt609．如下图所示，是一弹簧振子作简谐运动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式为________________．解析：设该振子振动的函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，由图可知，该振子作简谐运动的图像的平衡位置是t轴，振幅A为2，周期T＝2×(0.5－0.1)＝0.8，所以ω＝2π0.8＝5π2，则y＝2sin5π2x＋φ.将点(0.1,2)代入，得φ＝π4.故该振子振动的函数解析式为y＝2sin5π2x＋π4.答案：y＝2sin5π2x＋π4三、解答题10．心脏跳动时，血压在增加或减小．心脏每完成一次跳动，血压就完成一次改变，血压的最大值和最小值分别为收缩压和舒张压．设某人的血压满足函数关系式P(t)＝95＋Asinωx，其中P(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，其函数图像如图所示．(1)根据图像写出该人的血压随时间变化的函数解析式；(2)求出该人的收缩压，舒张压及每分钟心跳的次数．解：(1)由图像可知，振幅A＝120－95＝25，周期T＝180，由2πω＝180，知ω＝160π，于是P(t)＝95＋25sin160πt.(2)收缩压为95＋25＝120(mmHg)；5舒张压为95－25＝70(mmHg)，心跳次数为f＝1T＝80次．11．如图，半径为4m的水轮绕着圆心O逆时针做匀速圆周运动，每分钟转动4圈，水轮圆心O距离水面2m，如果当水轮上点P从离开水面的时刻(P0)开始计算时间．(1)试建立适当的平面直角坐标系，求点P距离水面的高度y(m)与时间t(s)满足的函数关系；(2)求点P第一次到达最高点需要的时间．解：(1)建立如图所示的直角坐标系．由于水轮绕着圆心O做匀速圆周运动，可设点P到水面的距离y(m)与时间t(s)满足函数关系y＝Asin(ωt＋φ)＋2－π2＜φ＜π2，∵水轮每分钟旋转4圈，∴T＝604＝15.∴ω＝2πT＝2π15.∵水轮半径为4m，∴A＝4.∴y＝4sin2π15t＋φ＋2－π2＜φ＜0.当t＝0时，y＝0，6∴φ＝－π6.∴y＝4sin2π15t－π6＋2.(2)由于最高点距离水面的距离为6，∴6＝4sin2π15t－π6＋2.∴sin2π15t－π6＝1.∴2π15t－π6＝π2＋2kπ(k∈Z)．∴t＝5＋15k(k∈Z)．∴当k＝0时，即t＝5(s)时，点P第一次到达最高点．12．稳定房价是我国近几年实施宏观调控的重点，某市房地产介绍所对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(单位面积的价格，单位为元)与第x季度之间近似满足y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω＞0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：x123y100009500？求此楼盘在第三季度的平均单价大约是多少元．解：当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9500＝10000，当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9500＝9500，∴sinω＋φ＝1，sin2ω＋φ＝0，∴ω＋φ＝π2，2ω＋φ＝π，∴ω＝π2，φ＝0，∴y＝500sinπ2x＋9500，当x＝3时，y＝9000.∴此楼盘在第三季度的平均单价大约为9000元．13．已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sinπ8x－5π4＋20，7x∈[4,16]．(1)求该地区这一段时间内最大温差；(2)若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？解：(1)∵x∈[4,16]，∴－3π4≤π8x－5π4≤3π4，∴－1≤sinπ8x－5π4≤1.∴当sinπ8x－5π4＝1，即x＝14时，函数取最大值，此时最高温度为30℃；当sinπ8x－5π4＝－1，即x＝6时，函数取最小值，此时最低温度为10℃，∴最大温差为30℃－10℃＝20℃.(2)令10sinπ8x－5π4＋20＝15，得sinπ8x－5π4＝－12，∴π8x－5π4＝2kπ－π6(k∈Z)．∵x∈[4,16]，∴x＝263.令10sinπ8x－5π4＋20＝25，得sinπ8x－5π4＝12，∴π8x－5π4＝2kπ＋π6(k∈Z)．∵x∈[4,16]，∴x＝343.∴该细菌能存活的最长时间为343－263＝83(小时)．