第三章--恒定电场和电流

第三章恒定电场和电流①体电流密度：一个矢量点函数，它的方向是该点处正电荷的运动方向，大小等于垂直于此方向的单位面积上所通过的电流。§3.1电流与电流密度1、电流：电荷有规则的宏观运动。2、电流强度：单位时间内通过导线某一截面的电荷量。简称电流。传导电流、运流电流tQIt0lim★单位：安培A★方向：电流强度不是矢量，但常常以正电荷穿过曲面的方向作为电流的正方向，当曲面（或电路导线）的参考方向与电流正方向一致时，电流强度取正值。★表达式：3、电流密度：nsSIJn0lim单位：安培/米2②面电流密度：一个矢量点函数，它的方向是该点处正电荷的运动方向，大小等于垂直于此方向的单位横截线上所通过的电流。nsSIJn0lim单位：安培/米vJdlmds图3－2电流中的柱状体元vdsdtdsdlImm4、电流密度与载流子参数的关系J因为JdsIvJmvJm为电荷平均运动速度vdldt所以写成矢量形式是大量运动电荷的定向平均速度v其中为运动电荷密度m5、欧姆定律的微观解释以金属为例，作以下假定①假定运动电荷是电子，则在电场作用下加速度为00meEmfa0212120meEavvd②假定电子碰撞后向各方向出射，碰撞后的瞬时速度平均值为0，碰撞间隔为τ，则定向漂移速度为③导体单位体积内的自由电子数为N，则NemEmNevJdm0221在①②③条件下，得EmNeJ0221EJ0221mNe引入电导率则有欧姆定律的微分形式§3.2恒定电流场的基本定律1、第一基本定律在恒定电场中0t00SJdSJ电荷守恒定律sJdSdtJddt应用散度定理得由此得到电荷守恒定律的微分形式Jt得恒定电流场第一基本定律物理意义：恒定电流密度场是一个无源场。推论：基尔霍夫第一方程01NiiI2、第二基本定律根据恒定电流场可知整个空间的电荷密度分布将不随时间改变，即恒定电流场具有恒定的电荷密度分布。0t而电场强度只决定于电荷密度的分布，故恒定电场与静电场一样也是一个保守场。00lEdlE得恒定电流场第二基本定律3、导电媒质中的高斯定律导电媒质中的恒定电场不但要激发电流，也会引起媒质极化。insDdsdQD在恒定电场中高斯定律仍然成立DE其中物理意义：恒定电场是一个保守场，无旋场。★均匀线性导电媒质中1C2C根据第一定律和欧姆定律，得EJ0J0EEJ)(0EEED)(0故有再由高斯定律因此①当均匀媒质中存在恒定电流时，其内部体电荷密度处处等于零。②均匀导电媒质的净电荷只能存在于媒质的表面上。结论：4、恒定电场中的电位恒定电场是一个保守场，所以可以引入位函数来描述UE0PPldEU02U对于均匀导电媒质，可以证明Laplace方程成立5、恒定电场中的导体导体内的电场不为零，导体内部的各点和表面的电位也不是常量，这与静电场中的导体概念是不同的。只有理想导体才具有与静电场中导体相同的性质。§3.3电源和电动势要想在导线中维持恒定电流，必须依靠非静电力将B极板的正电荷抵抗电场力搬到A极板。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装置称为电源。1、电源2、电动势电源的非静电力把单位正电荷从电源的负极推到正极所作的功称为该电源的电动势。E=SAQ电动势总是与电源的非静电力做功联系在一起，它决定于电源本身的性质，与电源外部的电路无关。从非静电力做功角度可以求得电源的电动势E＝)()(ldEs图3－5恒定电流回路中的电场IIEEEEsEJJ电源负载sE表示单位电荷在在电源内受到的非静电力①在电源的内部存在着两个电场：一个是非静电力的等效电场，另一个是电源两极上的分布电荷在电源内部产生的库仑电场，两者的指向正好相反。②在电源外部的媒质或空间中，只存在由分布电荷所产生的库仑电场。)(sEEJ开路电压：()0()VEdl＝E§3.4欧姆定律和焦耳定律1、欧姆定律EJ微分形式IRVllSdldRR电阻的求解：低频电路形式2、焦耳定律EJEJp微分形式低频电路形式sIVEdlJdsdEJP§3.5恒定电流场的边界条件图3－16分界面两侧电场与电流12111EJ12222EJnˆ1、和的边界条件EJ0ssdJ0lldE0)(ˆ21JJnnnJJ21或0)(ˆ21EEnttEE21或将恒定电流场两个基本方程应用到边界上得到边界条件：ttttJEEJ222111nnnnEJJE22211121另一方面由于，利用欧姆定律可得所以分界面两侧的总电流密度矢量和总电场强度矢量都是不连续的。EJ2、和的折射关系图3－16分界面两侧电场与电流12111EJ12222EJnˆ根据边界条件得222111coscosEE2211sinsinEE所以可推出折射关系2121tantan因此，只要良好导体一侧的电流不平行于分界面，不良绝缘材料一侧的电流和电场就几乎与分界面垂直，因而分界面可以近似为等电位面。如果媒质1为电导率很低的不良导电媒质，而媒质2为高电导率的良好导体，即时，根据折射关系可知12123、电位的边界条件4、的边界条件D1212UUnn12UUinsDdSQsDDn)(ˆ21snnDD21UEJnnJJ21根据欧姆定律和电流的边界条件可得根据高斯定律可得22112J1J2d1d图3－17两层媒质的平板电容IISS例3.3条件如图所示求（1）通过电容器的漏电流（2）两媒质分界面上的和SpS解：（1）设通过电容器的电流为I，略去边缘效应则两媒质中电流密度为JSIJJ2111JE22JESIddJdddEdEV212112221122110)(两媒质中的电场分别为所以0211221SVddI0211221VddJ通过电容器的电流和电流密度分别为JED11111JED22222两种媒质中的电通量密度分别为021122112221121)(VddJDDs11011011)1()1(ˆˆJEnPnrrps22022022)1()1(ˆˆJEnPnrrps00211221122211021)1()1()11(VddJrrrrpspsps故分界面上的自由电荷面密度为媒质分界面上的极化面电荷密度可由界面两侧的极化强度得到分界面上的总极化电荷面密度是上面两式的代数和，即§3.6恒定电流场与静电场的类比00EJ00ED02UUEEJ02UUEED21221121210)(ˆ0)(ˆUUnUnUEEnJJn21221121210)(ˆ0)(ˆUUnUnUEEnDDn无电荷区域静电场主要导出方程:边界条件方程:无外源区域恒定电流场基本方程：1、重要关系式的类比DJ2、对偶关系静电场恒定电场（电源外）E静E恒U静I恒D静J恒Q静U恒(0)类比法：当两种场的基本方程和边界条件相同时，可以利用上述对偶关系，由一种场中某类问题的已知解，通过对偶量的替换来得到另一种场同类问题的解。PIr,0,0EJ,图3－18球形电极的恒定电流场例3.4求土壤中的,,,JEUD解：静电场解rQUrrQErrQD4,ˆ4,ˆ402020rIUrrIErrIJ4,ˆ4,ˆ422用类比法得rrIEDˆ42恒定电场中的没有对偶量，需单独计算D3、电容和电阻的类比关系lbsblbsbldEsdEldEsdEUQCsalasalasdEldEsdEldEIUR两电极之间的电容为两电极之间的电阻为两式相乘，得bUbDEQQaUaJEIlbsbsalaldEsdEsdEldERC设两种情况下外加电压相同，则必有baEERCGC注：这两个关系式对同一个恒定场问题中的电阻和电容也成立。所以也可以写成例3.5求例3.4球形导体电极的对地电阻。已知导体球的半径为a＝1m，土壤的电导率为σ＝10－3（S/m)。解：电极深埋地下时，可以近似为无限均匀媒质中的孤立导体球静电场孤立导体电容为aC4)Ω(8041aCR由类比关系得4、静态电场就电场的本质而言，恒定电场与静电场是相同的。原因：由于电场的性质只决定于净电荷密度的分布，而与电荷是否运动无关。对恒定电场和静电场，它们的场源电荷的密度都是静止不变的，所以这两种电场都具有相同的性质，都满足相同的场――源关系。恒定电场的基本性质和计算与静电场是相同的，因此通常把这两种场统称为静态电场。