第三章--随机过程的功率谱密度

第三章随机过程的功率谱密度主要内容：•随机过程的功率谱密度函数•平稳随机过程功率谱密度函数的性质•功率谱密度函数与自相关函数的关系•平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱带宽•联合平稳随机过程的互功率谱密度•白噪声与色噪声§3.1功率谱密度函数3.1.1确定信号的频谱和能量谱密度§3.1功率谱密度函数3.1.1确定信号的频谱和能量谱密度确定信号是在的非周期实函数，的傅立叶变换存在的充要条件是：(1).满足狄利赫利条件(2).总能量有限，即txttxdttxdttx2则信号的傅立叶变换为傅立叶反变换为根据巴塞伐(Parseval)定理(总能量的谱表达式)称为信号的能量谱密度。txdtetxjwFjwtxdwjwFdttxx22212jwFxdtejwFtxjwtx213.1.2随机过程的功率谱密度•随机过程的样本函数不满足傅立叶存在的绝对可积和能量可积条件，傅立叶不存在。txtxt0图3-1样本函数•采取截断函数规范化随机信号，使之满足傅立叶变换条件。截断函数定义为：othersTttxtxT,0,txT0txtTT图3-2及截断函数tx保留有限区间的数据置其它区间为0当T为有限值时，截断函数满足傅立叶变换条件，傅立叶变换为傅立叶反变换为由巴塞伐定理得对上式两边除2TTTjwtjwtTxdtetxdtetxTjwF,dteTjwFtxjwtxT,21dwTjwFdttxdttxxTTTT222,21dwTTjwFdttxdttxTxTTTT2,2121222•样本函数在时间区间的平均功率。•由于样本函数是随机过程的任何一个样本函数，取决于随机试验，平均功率具有随机性。•可采用集合平均消除样本函数的随机性，即两边取极限dwTTjwFdttxdttxTxTTTT2,2121222TT,dwTTjwFEdttXTExTT2,212122dwTTjwFEdttXETxTT2,lim2121lim22若设上式表示为称为随机过程的功率谱密度。如随机过程是宽平稳过程时，则TTjwFEwSXTX2,lim2XStXdwwSPdttXETXXT2121lim2dwwStXEdttXETXT2121lim22§3.2功率谱密度与自相关函数之间的关系及其性质•自相关函数是从时间域上描述随机过程统计特性的重要特征。•功率谱密度是从频率域上描述随机过程统计特性的重要特征。•自相关函数功率谱密度？自相关函数功率谱密度随机过程?timefrequency图3-3功率谱密度与自相关函数3.2.1维纳—辛钦定理平稳各态历经随机过程的自相关函数和功率谱密度有如下关系：证明：由功率谱密度函数定义tXXBXSdeSBjXX21deBSjXXTdtetXtXEdtTdtetXtXdtETdtetXdtetXETTjFTjFETTjFESTTttjTTTTTttjTTTTTtjTTtjTXXTXTX2lim2lim2lim2,,lim2,lim1122112222112121221功率谱密度与自相关函数是傅立叶变换对在区间定义则有令则得证。otherstXtXETttttBtXtXEX0,,21212121TT,TdtdtettBTdtdtettBSTTttjTTXTTTttjTTXTX2,lim2,lim21212121121212ttddt2各态历经性平稳随机过程令111111~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~1111,,21lim2,limdeBdeBdettBttdtdettBTTddtettBSjXjXjXjTTXTtTtTjTTXTX功率谱密度与自相关函数时间平均值是傅立叶变换对deSBjXX213.2.2功率谱密度的性质1.功率谱密度为非负实函数，即证明:根据功率谱密度定义2.功率谱密度函数为的偶函数,即0XSTTjFESXTX2,lim2XXSS证明:由功率谱与自相关函数的关系同理dttBdttBdjttBdettBSXXXjXXsin,cos,sincos,,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~sinsincoscos,,ttBttBXXdttBSXXcos,~~~~~~~~~~~~dttBSXXcos,~~~~~~~~~~~~XXSS3.平稳随机过程的功率谱密度是可积函数,即证明:对于平稳随机过程有平稳随机过程的均方值有限平稳随机过程的功率谱密度可积,即dSXdStXEX212dSX4.功率谱与相关函数随机过程平稳随机过程平稳各经历态过程~~~~~~~~~~~~~,ttBSXX~~~~~~XXBSXXBSttX0图3-4随机过程及其功率谱密度函数0wSX非负实数可积偶函数3.2.3功率谱与平均功率1.平均功率是功率谱在频率空间的积分证明：XSXPdSPXX21dSdeStXEtxAPXtjXX2121022平稳各态历经2.特定频率上平均功率3.单边谱密度与双边谱密度21,212,XdSXX2121,112XSXS0002XXSS物理谱密度函数dSPXX021dSXX2121,2124.－函数•功率谱密度指单位带宽上平均功率；•直流与周期平稳随机过程在频率轴有离散谱线；ttX0图3-5周期平稳随机过程及其功率谱密度0wSX零带宽上有限功率无限的功率谱密度•随机过程的功率谱密度不一定可积，即•－函数dSXothersxx001dxx0fdxxfx10jjede2121210jjedejxexfxif,xjexfxif,121x0图3-6－函数•利用－函数，含有直流分量或周期分量的平稳随机过程的功率谱密度可表示为2______0tXBBXX2_______02tXSSXX______0tXtXtXttXtX00cos00cos21XXBB00021XXSSXS0图3-7直流分量XS0图3-8周期分量•若功率谱密度函数为常数，则自相关函数为—函数。0nSX0nBX0XS图3-9常功率谱函数0XB图3-10自相关函数例3-1平稳随机过程的自相关函数为求该随机过程的功率谱密度函数。解：由维纳－辛钦定理，有tX0,eBX220021100jjjejedeedeedeedeBSjwjwjwjwjwjwXX0XBXS0图3-11例3-13.2.4几种常见的与XBXSXBXS0XB0XBXBXBXSXSXSXS0000000,e222TT0cos1222sin4TT00例3-2已知平稳随机过程，具有功率谱密度为求该过程的自相关函数。解：由上例可知，若自相关函数具有的形式，则功率谱密度为，本题中则自相关函数具有如下形式tX36131624XS0,AeBX222ASX951645169416361316222224XS2121eAeABX显然因此所以自相关函数为915832951645422451622223,158;2,542211AA3215854eeBX§3.3平稳随机过程的自相关函数时间和等效功率谱带宽•自相关函数反映随机过程在不同时刻的关联程度。•功率谱密度函数描述随机过程的平均功率沿频率轴的分布。自相关时间从数量上直观描述随机过程的在时间上关联范围。等效功率带宽从数量上直观描述随机过程在频率上分布范围。3.3.1自相关时间tXEtXE21相同的数学期望相同的方差(a)0ttX1(b)0ttX2tXDtXD21图3-12和的样本函数曲线tX1tX2(b)图3-13和的自相关函数tX2tX1(a)01XB02XB因为，有由于扩展比要大一些，因此dBBXXk11021dBBXXk2202202111XXkBdB02222XXkBdBtXEtXE21tXDtXD21tXEtXDBX12101tXEtXDBX222020021XXBB1XB2XBdBdBXX2121kk能描述相关程度1k(b)2k2k02XB(a)1k1k01XB图3-14自相关时间自相关时间定义：通常，当时，可认为与的相关性已经很弱，实际上已经不相关了。02002XXXXkBSBdBktXtX3.3.2等效功率谱带宽(a)(b)t0tX10ttX2tXEtXE21图3-15和的样本函数曲线相同的数学期望