基本不等式

如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”）证明：222)(2baabba0)(0)(22babababa时，当时，当abba2221．指出定理适用范围：Rba,2．强调取“=”的条件：ba定理：如果a,b∈R+，那么（当且仅当a=b时，式中等号成立）abba2一般的对于正数a,b来说我们把叫做a,b的算术平均数，把叫做a,b的几何平均数。2abab即两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数注意：运用基本不等式求最值时，要有三个条件二“定”：即若积为定值，则和有最小值；若和为定值，则积有最大值。一“正”：使用基本不等式时，各项必须为正数。三“相等”：即当且仅当时，取“=”成立。xy求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”，否则会出现错误（定和求大积）（定积求小和）2，216——————_____,0,01babaab则若1____,0,0的最小值是则若abbaba34320,0xyxyxy已知2,的最大值是则2若x0,f(x)=的最小值为_______;此时x=_______.xx312122的最大值。求设)1(,105xxyx例1：110求的最小值xyxx120求的最大值xyxx解：210,0,0xxx12xyx1,1xxx当且仅当即时取得“”max12xy当时,一不正，常用相反数若x0,f(x)=的最大值为_______;此时x=_______.xx312-12-2练习：已知x＞1，求x＋的最小值以及取得最小值时x的值。11x解：∵x＞1∴x－1＞0∴x＋＝（x－1）＋＋1≥2＋1＝311x)1(1x)1(1)1(xx当且仅当x－1＝时取“＝”号。于是x＝2或者x＝0（舍去）11x答：最小值是3，取得最小值时x的值为2例2:构造积为定值通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.,二不定需变形例题：的最大值。求已知变式：)(,x21xy21x0的最小值求已知541454,xxyx﹙1﹚的最小值22542xxxxy﹙2﹚练习：的最小值求函数01322xxxy例3：的最小值求函数01322xxxy例3：解：1211212222xxxxy22”成立时“即当且仅当1x12122xx22,1minyx时当当且仅当时取“=”号5x1x51x1即)1(113)(2xxxxxf2.求函数的最小值.22x3x1(x1)5(x1)5f(x)x1x1x1x105x15x15x15255x1又即当时,函数的最小值为x51255解:1:求函数的最大值,并求出相应x的值.ayx(a4x)(0x,aR)4巩固练习：4522xxy例三.求函数的最小值.2222x5x41yx4x42当且仅当时取等号221x4x4错解:221x4x42222x5x41yx4x4221x4x42tx4令1(2)yttt则min52,:0,2txy当即时正解:,三不等常用单调性练习：112xyxx的最小值是11223xyxx的最小值是————（1）求xxy22sin2sin的最小值。∵0sin2x，∴0sin2x，2sin2sin2sin2sin2222xxxxy∴xxy22sin2sin的最小值是2。例3、判断下列推理是否正确：？22下列函数中，最小值为4的是()(A)(B)(C)(D)xxxy0sin4sin-xxeey4103loglog3xxyxxxy4C小结：二、基本不等式的应用1.基本不等式可证明简单的不等式2.应用基本不等式求最值的问题(1)利用基本不等式求函数最值的步骤:一正,二定,三相等,0,02ababab一不正常用(2)先变形再利用基本不等式求函数最值:(3)取不到等号时用函数单调性求最值:,二不定需变形,三不等常用单调性例四.已知正数x、y满足2x+y=1，求yx11的最小值221221xyxy即xyyx2221242221211xyyx即的最小值为yx1124过程中两次运用了基本不等式中取“=”号过渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，故结果错。错因：解：例四.已知正数x、y满足2x+y=1，求yx11的最小值正解：223当且仅当yxxy2即:xy2时取“=”号122yxxy而222221yx即此时223minyyx11yyxxyx22yxxy23“1”代换法例3：已知且,求：x+y的最小值?,,Ryx191yx010191911xxxyyx：解19xxxyx1019)1(19)1(9xxxxx161092)91)((:2yxyxyx解1692109191yxxy还有其他方法吗？例六（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？（2）一段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?例2:(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长,宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆是多少?X解:(1)设矩形菜园的长为xm,宽为ym,则xy=100,篱笆的长为L=2(x+y)m,由x+y2xy可得x+y2100L=2(x+y)40等号当且仅当X=Y时成立,此时X=Y=10.这个矩形的长,宽都为10m时,所用篱笆最短,最短的篱笆是40m.结论1：两个正数积为定值，则和有最小值(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长,宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?X解:(2)设矩形菜园的长为xm,宽为ym,则2(x+y)=36,x+y=18,矩形菜园的面积为S=xym2由xyx+y2=182=9.可得S=xy81当且仅当X=Y=9时成立,这个矩形的长,宽都为9m时,菜园的面积最大,最大面积是81m2结论2：两个正数和为定值，则积有最大值解:设底面的长为xm,宽为Y=48003X=1600Xm,水池总造价为Z元根据题意,有Z=15048003+120(2×3x+2×3y)=240000+720(X+Y)=240000+720(X+1600X)240000+7202x1600x=240000+72021600=297600.当且仅当X=1600XX=40,X=Y=40时,等号成立答:将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低总造价是297600元例2:某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m,如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?,最低总造价是多少?X练习2做一个体积为32，高为2m的长方体纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？0,0ba3m设底面的长与宽分别为am,bm.因为体积等于32高为c=2m所以底面积为16，即即即即3m即解16ab所以，用纸面积是acbcabs222)(432baab423264时取等号当且仅当4ba米时，用纸最少为答：当底面的长与宽均42m课堂检测1、若实数a,b满足a+b=2，则的最小值是（）A18B６CD2、设x0，则最大值是（）A３BCD－１3、函数，则f(x)有（）A最大值0B最小值0C最大值-2D最小值-24、求的最大值ba3332432xxy133223323)2(421)(xxxxf)0(21xxxyBCB2作业本P56:4若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是____解:ab=a+b+32ab+3(ab)2-2ab-30(ab-3)(ab+1)0ab3或ab-1(舍去)ab9ab的取值范围是[9,+)12.函数的最小值是＿＿＿．2614(1)1xxyxx10１.已知，则函数的最大值是＿＿．54x14245yxx例2，求证：lg9·lg111分析：由构成特点：乘积、小于，联想到基本不等式，并用到放缩法。∴lg9·lg111111lg9lg2100lg299lg211lg9lg(3)设X,Y均为正数.若2X+5Y=20,求lgX+lgY的最大值;解:因为X0,Y0lgx+lgY=lgxy=lg1102x5Ylg110(2x+5y2)2=lg110(202)2=lg10=1当且仅当2X=5Y2X+5Y=20可得4X=20X=5,Y=2时取等号此时lgX+lgY的最大值是1作业本P54:11设a0,b0,且a2+b22=1,求a1+b2的最大值解:a2+b22=12a2+b2=2a1+b2=122a1+b2122a2+1+b22=122+12=342当且仅当2a=1+b22a2+b2=2可得a=32,b=22a1+b2的最大值是342构造和为定值，利用基本不等式求最值例5、已知，求的最大值10x21xx练习：已知且，则最大值是多少？0,0yx2052yxyxlglgA