专题20全等三角线中的辅助线做法及常见题型之手拉手模型备战2021中考数学解题方法系统训练

专题20：第三章全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之手拉手模型一、单选题1．如图所示，C是线段BD上一点，分别以BC，CD为边在BD同侧作等边ABC和等边CDE，AD交CE于F，BE交AC于G，则图中可通过旋转而得到的全等三角形的对数为（）对.A．1B．2C．3D．42．如图，正方形ABCD的边长为4，点,EF分别在,ABAD上，若25CE,且45ECFo，则CF的长为（）A．4103B．5103C．210D．71033．如图，ACD△和AEB△都是等腰直角三角形，90CADEAB，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．ACE△以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90后与ADB△重合B．ACB△以点A为旋转中心，顺时针方向旋转270o后与DAC△重合C．沿AE所在直线折叠后，ACE△与ADE重合D．沿AD所在直线折叠后，ADB△与ADE重合二、填空题4．在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC．其中正确的是_________．5．如图所示，等边ABO的顶点B在x轴的负半轴上，点A的坐标为13（，），则点B坐标为_______；点C是位于x轴上点B左边的一个动点，以AC为边在第三象限内作等边ACD,若点Dmn（，）.小明所在的数学兴趣合作学习小组借助于现代互联网信息技术，课余时间经过探究发现无论点C在点B左边x轴负半轴任何位置，m，n之间都存在着一个固定的一次函数关系，请你写出这个关系式是_____．6．如图，C在线段AB上，在AB的同侧作等边三角形△ACM和△BCN，连接AN，BM，若∠MBN＝38°，则∠ANB＝_____．三、解答题7．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于60°），AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．试说明：（1）AD=BE；（2）填空∠AOE=°；（3）CP=CQ；8．如图，在ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）问题提出：如图1，若AD=AE，AB=AC．①BD与CE的数量关系为；②∠BPC的度数为．（2）猜想论证：如图2，若∠ADE=∠ABC=30°，则（1）中的结论是否成立？请说明理由．如果不正确请写出正确结论．（3）拓展延伸：在（1）的条件中，若AB=3，AD=1，若把ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，直接写出PB的长．9．在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B．C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．(1)如图1,当点D在线段BC上,如果∠BAC=90∘，则∠BCE=度；(2)如图2，①说明：△ABD≌△ACE．②说明：CE+DC=BC．③设∠BAC=α，∠BCE=β．当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论．10．如图1，ABC是以ACB为直角的直角三角形，分别以AB，BC为边向外作正方形ABFG，BCED，连结AD，CF，AD与CF交于点M，AB与CF交于点N．（1）求证：ABDFBC；（2）如图2，在图1基础上连接AF和FD，若6AD，求四边形ACDF的面积．11．探究等边三角形“手拉手”问题．（1）如图1，已如△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由；（2）如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC＝60°，试说明点B，点D，点E在同一直线上；（3）如图3，已知点E在ABC外，并且与点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜测线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由．12．给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．参考答案1．C【解析】本题考查的是全等三角形的判定、等边三角形的性质以及旋转的性质的综合运用．根据等边三角形的三边相等、三个角都是60°，以及全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS），进行证明．解：△EBC≌△ACD，△GCE≌△FCD，△BCG≌△ACF．理由如下：BC=AC，EC=CD，∠ACB=∠ECD，∠ACE是共同角⇒△EBC≌△ACD．CD=EC，∠FCD=ECG，∠GEC=∠CDF⇒△GCE≌△FCD．BC=AC，∠GBC=∠FAC，∠FCA=∠GCB⇒△BCG≌△ACF．故选C．2．A【解析】【分析】把FCD绕点C逆时针旋转90°得FCB，此时E，B，F'三点共线，证明CEFCEF≌得EFEF，设DF=x，在RtFAE中，由勾股定理列出x的方程求得x，再在RtFCD中，由勾股定理得结果．【详解】解：正方形ABCD,,90,CDCBCDFCBE把FCD绕点C逆时针旋转90°得FCB，180,CBECBF此时E，B，F三点共线，则CBFCDF≌，连接EF．∴CFCF，,BFDF∵90FCF，∠ECF=45°，∴45,ECFECF∵CE=CE，∴CEFCEF≌（SAS），∴EFEF．在RtEBC中，22222542,BECEBC∴AE=AB-BE=2．设DF=x，则AF=4-x．∵,BFDF∴2EFEFBEBFx，在RtFAE中，222,EFAEAF∴222224,xx解得：43x．在RtCDF中，4,4,3DFCD∴22241616916104,399CF解得：410.3CF故选：A．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，正方形的性质，勾股定理等，构建全等三角形，利用方程思想是解答此题的关键．3．B【解析】【分析】本题通过观察全等三角形，找旋转中心，旋转角，逐一判断．【详解】解：A．根据题意可知AE=AB，AC=AD，∠EAC=∠BAD=135°，△EAC≌△BAD，旋转角∠EAB=90°，正确；B．因为平行四边形是中心对称图形，要想使△ACB和△DAC重合，△ACB应该以对角线的交点为旋转中心，顺时针旋转180°，即可与△DAC重合，错误；C．根据题意可∠EAC=135°，∠EAD=360°﹣∠EAC﹣∠CAD=135°，AE=AE，AC=AD，△EAC≌△EAD，正确；D．根据题意可知∠BAD=135°，∠EAD=360°﹣∠BAD﹣∠BAE=135°，AE=AB，AD=AD，△EAD≌△BAD，正确．故选B．【点睛】本题主要考查平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点．4．①②③④【解析】【分析】根据正方形的性质和SAS可证明△ABG≌△AEC，然后根据全等三角形的性质即可判断①；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE＝∠AGB，然后根据三角形的内角和定理可得∠CNG＝∠CAG＝90°，于是可判断②；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，根据余角的性质即可判断④；利用AAS即可证明△ABH≌△EAP，可得EP＝AH，同理可证GQ＝AH，从而得到EP＝GQ，再利用AAS可证明△EPM≌△GQM，可得EM＝GM，从而可判断③，于是可得答案．【详解】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，即∠CAE＝∠BAG，∴△ABG≌△AEC（SAS），∴BG＝CE，故①正确；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，∵△ABG≌△AEC，∴∠ACE＝∠AGB，∵∠AKG＝∠NKC，∴∠CNG＝∠CAG＝90°，∴BG⊥CE，故②正确；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，∵AH⊥BC，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAE＝90°，∴∠EAP+∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠EAP，即∠EAM＝∠ABC，故④正确；∵∠AHB=∠P=90°，AB=AE，∴△ABH≌△EAP（AAS），∴EP＝AH，同理可得GQ＝AH，∴EP＝GQ，∵在△EPM和△GQM中，90PMQGEMPGMQEPGQ，∴△EPM≌△GQM（AAS），∴EM＝GM，∴AM是△AEG的中线，故③正确．综上所述，①②③④结论都正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造出全等三角形是难点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．5．-20B（，）323nm=+【解析】【分析】过点A作x轴的垂线，垂足为E，根据等边三角形的性质得到OE和AE，再根据三线合一得到OB即可；再连接BD，过点D作x轴的垂线，垂足为F，证明△OAC≌△BAD，得到∠CAD=∠CBD=60°，利用30°所对的直角边是斜边的一半以及点D的坐标得到BF和DF的关系，从而可得关于m和n的关系式.【详解】解：如图，过点A作x轴的垂线，垂足为E，∵△ABO为等边三角形，A13（，），∴OE=1，AE=3，∴BE=1，∴OB=2，即B（-2，0）；连接BD，过点D作x轴的垂线，垂足为F，∵∠OAB=∠CAD，∴∠OAC=∠BAD，∵OA=AB，AC=AD，∴△OAC≌△BAD（SAS），∴∠OCA=∠ADB，∵∠AGD=∠BGC，∴∠CAD=∠CBD=60°，∴在△BFD中，∠BDF=30°，∵D（m，n），∴DF=-m，DF=-n，∵B（-2，0），∴BF=-m-2，∵DF=3BF，∴-n=3（-m-2），整理得：323nm=+.故答案为：-20B（，），323nm=+.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，有一定难度.6．82°【解析】【分析】根据等边三角形的边相等，角相等，易证△ACN和△MCB全等，则∠ANC和∠MBA相等，∠MBA＝60°﹣∠MBN＝60°﹣38°＝22°，然后可求出∠ANB．【详解】解：∵△ACM和△BCN是等边三角形，∴AC＝MC，CB＝CN，∠ACM+∠MCN＝∠BCN+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB．在△ACN和△MCB中，AC=MCACN=MCBCN=CB∴△ACN≌△MCB（SAS）．∴∠ANC＝∠MBA．∵∠MBA＝60°﹣∠MBN＝60°﹣38°＝22°，∴∠ANC＝22°．∴∠ANB＝22°+60°＝82°．故答案为：82°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，本题是典型的“手拉手”模型，应熟练掌握其中全等三角形的证明.7．（1）见解析；（2）120；（3）见解析【解析】【分析】（1）由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；（2）由（1）推出∠CAD=∠CBE，利用三角形内角和定理可求得∠BOP=∠ACP=60°，从而求得∠AOE的度数；（3）由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），从而证明CP=CQ．【详解】（1）∵△A