专题23第4章解三角形之步步高型备战2021中考数学解题方法系统训练教师版

23第4章解三角形之步步高型学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知三角形的两边长分别是3和5，则此三角形第三边的长可能是（）A．1B．2C．3.5D．8【答案】C【解析】【分析】能构成三角形的条件是，“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，根据构成三角形的条件解答此题.【详解】选项A，若第三边为1，则135，不满足构成三角形的条件，故错误；选项B，若第三边为2，则235，不满足构成三角形的条件，故错误；选项C，33.55,3.535，满足构成三角形的条件符合，故正确；选项D，若第三边为8，则358，不满足构成三角形的条件，故错误．【点睛】本题考察构成三角形的条件，“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”.2．如图，竖直放置的杆AB，在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡CD的D处，而此时1米的杆影长恰好为1米，现量得BC为10米，CD为8米，斜CD与地面成30°角，则杆的高度AB为（）米．A．643B．1034C．8D．6【答案】A【解析】【分析】如图：延长AB交水平线于点E,过C作DE的垂线,垂足为F,则CF=BE,BC=EF,根据题意可知∠CDE=30°结合CD=8运用三角函数可得CF=4，DF=43,即BE=CF=4,DE=EF+DF=10+43;又由1米的杆影长恰好为1米，则AE:DE=1:1,解得AE=10+43;最后由AB=AE-BE即可解答．【详解】解：如图：延长AB交水平线于点E,过C作DE的垂线,垂足为F,则CF=BE,BC=EF∵∠CDE=30°，CD=8∴CF=CD·sin30°=812=4，DF=CD·cos30°=832=43∴DE=EF+DF=10+43又∵1米的杆影长恰好为1米∴AE:DE=1:1，即AE=DE=10+43∴AB=AE-BE=10+43-4=6+43．故答案为A．【点睛】本题考查了锐角三角函数解直角三角形，根据题意正确构造直角三角形并灵活运用三角函数解三角形是解答本题的关键．3．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4，…在x轴正半轴上，点B1，B2，B3，…在直线y＝33x（x≥0）上，若A1（1，0），且△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，则线段B2019B2020的长度为（）A．220213B．220203C．220193D．220183【答案】D【解析】【分析】设△BnAnAn+1的边长为an，根据直线的解析式能够得出∠AnOBn=30°，再结合等边三角形的性质及外角的性质即可得出∠OBnAn=30°，∠OBnAn+1=90°，从而得出BnBn+1=3an，由点A1的坐标为（1，0），得到a1=1，a2=1+1=2，a3=1+a1+a2=4，a4=1+a1+a2+a3=8，…，an=2n﹣1．即可求得B2019B2020=3a2019=3×22018=220183．【详解】设等边△BnAnAn+1的边长为an，∵点B1，B2，B3，…是直线y=33x上的第一象限内的点，∴∠AnOBn=30°，又∵△BnAnAn+1为等边三角形，∴∠BnAnAn+1=60°，∴∠OBnAn=30°，∠OBnAn+1=90°，∴BnBn+1=OBn=tan30na=3an，∵点A1的坐标为（1，0），∴a1=1，a2=1+1=2，a3=1+a1+a2=4，a4=1+a1+a2+a3=8，…，∴an=2n﹣1．∴B2019B2020=3a2019=3×22018=220183，故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的规律探究问题，等边三角形的性质以及三角形外角的性质，解直角三角形等，解题的关键是找出规律BnBn+1=OBn=3an，解决该题型题目时，根据等边三角形边的特征找出边的变化规律是关键．二、填空题4．如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为_____m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【答案】7.5【解析】【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为点E，根据正切进行求解即可；【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，则DE＝BC＝5，DC＝BE＝1.5，在Rt△ADE中，∵tan∠ADE＝AEDE，∴AE＝tan∠ADE•DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（米），∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（米），故答案为：7.5．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，准确构造直角三角形是解题的关键．5．如图，是矗立在高速公路地面上的一块交通警示牌，经测量得知PA＝4米，AB＝5米，∠PAD＝45°，∠PBC＝30°，则警示牌的高CD为______．(结果保留小数点后一位）【答案】1.2米【解析】【分析】在Rt△CPB中求出CP，在Rt△ADP中求出DP即可解决问题．【详解】在Rt△CPB中，∵∠CPB=90°，PB=AP+AB=9米，∠PBC=30°，∴CP=PB•tan30°=9×33=33，在Rt△ADP中，∵∠APD=90°，∠PAD=45°，∴∠MAD=∠MDA=45°，∴PD=AP=4，∴CD=CP-DP=33-41.2(米)故答案为：1.2米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于基础题中考常考题型．6．如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1：3,则斜坡AB的长是__________米．【答案】203【解析】【分析】首先根据题意得出∠ABF=30°，进而得出∠PBA=90°，∠BAP=45°，再利用锐角三角函数关系求出即可．【详解】解：如图所示：过点A作AF⊥BC于点F，∵斜面坡度为1：3，∴tan∠ABF=1333AFBF，∴∠ABF=30°，∵在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，∴∠HPB=30°，∠APB=45°，∴∠HBP=60°，∴∠PBA=90°，∠BAP=45°，∴PB=AB，∵PH=30m，sin60°=3032PHPBPB，解得：PB=203，故AB=203m，故答案为：203.【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出PB=AB是解题关键．7．2019年，徐州马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅度提升了徐州市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度_____m．（结果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．【答案】6【解析】【分析】作CE⊥AB于E，根据矩形的性质得到CE＝DB＝20，CD＝BE，根据正切的定义求出AE，结合图形计算即可．【详解】解：作CE⊥AB于E，则四边形CDBE为矩形，∴CE＝DB，CD＝BE，在Rt△ADB中，∠ADB＝45°，∴AB＝DB＝20，∴CE＝20，在Rt△ACE中，tan∠ACE＝AECE，∴AE＝CE·tan∠ACE≈20×0.70＝14，∴CD＝BE＝AB﹣AE＝6m，故答案为：6．【点睛】本题主要考查利用三角函数解决实际问题，同时涉及矩形有关性质，解题关键在于作出辅助线构造直角三角形进而即可求解．三、解答题8．数学课外学习小组利用矩形建筑物ABED测量广场灯塔CF的高，如图所示，在点B处测得灯塔顶端C的仰角为28°，在点D处测得灯塔顶端C的仰角为45°，已知AB＝10m，AD＝30m．求灯塔CF的高（结果保留整数）．（参考数据：tan28°≈0.53，cos28°≈0.88，sin28°≈0.47，2≈1.41）【答案】55米【解析】【分析】延长BE交CD于点G，交CF于点H，设CH＝xm，利用锐角三角函数的含义分别表示,GHBH，再列方程求解即可．【详解】解：延长BE交CD于点G，交CF于点H，在RtDEG△中，∠EDG＝45°，∴EG＝DE＝10m．∠EGD＝45°设CH＝xm，在RtCGH中，CGH∠EGD＝45°，∴GH＝xm在RtCBH中，∠CBH＝28°，∴tan∠CBH＝CHBH，即：3010xx＝tan28°解这个方程得：x≈45.1，经检验：x≈45.1符合题意．∴灯塔的高CF＝55.1≈55（m）答：灯塔的高为55米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数在解直角三角形中的应用是解题的关键．9．如图，某同学在大楼AD的观光电梯中的E点测得大楼BC楼底C点的俯角为60°，此时该同学距地面的高度AE为27米，电梯再上升10米到达D点，此时测得大楼BC楼顶B点的仰角为45°，求大楼BC的高度．（结果保留根号）【答案】（37+93）米．【解析】【分析】过D作DH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G．求出EG和DH的长，在Rt△BDH中，求出BH，则可得出答案【详解】解：过D作DH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G．由已知得，∠BDH＝45°，∠CEG＝60°．AE＝27，DE＝10．在Rt△CEG中，CG＝AE＝27，tanCEGEGCG，∴EG＝tan60CG＝27933．∴DH＝EG＝93．在Rt△BDH中，∵∠BDH＝45°，∴BH＝DH＝93．∴BC＝CG+HG+BH＝CG+DE+BH＝27+10+93＝（37+93）米．答：大楼BC的高度是（37+93）米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．10．如图所示，某塔观光层的最外沿点E为蹦极项目的起跳点.已知点E离塔的中轴线AB的距离OE为10米，塔高AB为123米（AB垂直于地面BC），在地面C处测得点E的仰角45，从C点沿CB方向前行40米到达D点，在D处测得塔尖A的仰角60．（1）求出点D到塔底B的距离；（结果保留根号）（2）求点E离地面的高度EF．（结果精确到1米，参考数据，21.4，31.7）【答案】（1）413（2）100米【解析】【分析】（1）先根据锐角三角函数的定义求出DB的长，（2）由CF=DB-FB+CD及∠α=45°即可得出结论．【详解】解：（1）∵ABBC∴ABD为直角三角形在RtABD中，∵tanABDB∴123413tan603ABDB（2）∵ABBC，ABEO，EFBC∴四边形BOEF为矩形，∴10FBEO∴41310DFBDFB，∴404131030413CFCDDF在RtEFC中，∵45∴EFC为等腰直角三角形，∴30413100EFCF（米）答：点E离地面的高度EF约为100米.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．11．我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面15m的A处测得在C处的龙舟俯角为23；他登高6m到正上方的B处测得驶至D处的龙舟俯角为50，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到1m，参考数据：tan230.42，tan400.84，tan501.19，tan672.36）【答案】两次观测期间龙舟前进了18米．【解析】【分析】设BA与CD的延长线交于点O，由题意得出∠BDO=50°，∠ACO=23°，OA=15m，AB=6m，在Rt△BOD中，解直角三角形求得OD的长度，在Rt△AOC中，解直角三角形求出DC的长度即可．【详解】解：设BA与CD的延长线交于点O，根据题意易得：∠BDO=50°，∠ACO=23°，OA=15m，AB=6m，在Rt△BOD中，OB15