专题25第5章相似三角形之A字型相似备战2021中考数学解题方法系统训练教师版

25第5章相似三角形之A字型相似学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，已知,ADEABCV:V若:1:3,ADABABCV的面积为9，则ADE的面积为（）A．1B．2C．3D．9【答案】A【解析】【分析】根据相似三角形的性质得出21=3ADEABCSS，代入求出即可．【详解】解：∵△ADE∽△ABC，AD：AB＝1：3，∴21=3ADEABCSS，∵△ABC的面积为9，∴1=99ADES，∴S△ADE＝1，故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的性质定理，能熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解此题的关键．2．如图，△ABO的顶点A在函数y＝kx（x0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若△ANQ的面积为1，则k的值为（）A．9B．12C．15D．18【答案】D【解析】【分析】易证△ANQ∽△AMP∽△AOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ的面积，进而可求出△AOB的面积，则k的值也可求出．【详解】解：∵NQ∥MP∥OB，∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，∵M、N是OA的三等分点，∴12ANAM，13ANAO，∴14ANQAMPSS，∵四边形MNQP的面积为3，∴314ANQANQSS，∴S△ANQ=1，∵2119AOBANSAO，∴S△AOB=9，∴k=2S△AOB=18，故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数k的几何意义，正确的求出S△ANQ=1是解题的关键．3．直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（）A．154B．253C．203D．254【答案】D【解析】【分析】分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，先根据全等三角形的判定定理得出△BCE≌△ACF，故可得出CF及CE的长，在Rt△ACF中根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF，故可得出CD的长，在Rt△BCD中根据勾股定理即可求出BD的长．【详解】如图，分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∵∠EBC+∠BCE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，∴∠EBC＝∠ACF，∠BCE＝∠CAF，在△BCE与△ACF中，EBCACFBCACBECAFC∴△CBE≌△ACF（ASA）∴CF＝BE，CE＝AF，∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，∴CF＝BE＝3，CE＝AF＝3+1＝4，在Rt△ACF中，∵AF＝4，CF＝3，∴AC＝5，∵AF⊥l3，DG⊥l3，∴△CDG∽△CAF，DGCDAFAC，3CD45，15CD4，在Rt△BCD中，∵154CD，BC＝5，所以2225BDBCCD4．故答案为：D．【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．4．如图，ABCD∥，AEFDP，AE、FD分别交BC于点G、H，则下列结论中错误的是（）A．DHCHFHBHB．GECGFDGBC．AFHGCECGD．FHBFAGAB【答案】B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再变形，结合相似三角形对应边成比例即可判断各个选项．【详解】解：∵AB∥CD∴DHCHFHBH∴A选项正确，不符合题目要求；∵AE∥DF，∴△CEG∽△CDH，∴GECGDHCH,∴EGDHCGCH,∵AB∥CD，∴CHDHCBDF,∴DHDFCHCB,∴GEDFCGCB,∴GECGDFCB，∴B选项错误，符合题目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AF=DE，∵AE∥DF，∴DEGHCEGC，AFHGCECG；∴C选项正确，不符合题目要求；∵AE∥DF，∴△BFH∽△BAG，∴FHBFAGAB，∴D选项正确，不符合题目要求．故选：B．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．5．如图．在△ABC中，DE∥BC，∠B=∠ACD，则图中相似三角形有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．【详解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴△ACD∽△ADE，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∵∠B=∠DCE，∴△CDE∽△BCD，故共4对，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定．注意掌握数形结合思想的应用，注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．二、填空题6．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为．【答案】1.5米．【解析】如图，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB．∴DEAECBAB．∴40.84+3.5AB，解得h=1.5（米）．7．在矩形ABCD中，3AB，4BC，点E是AD上一动点，过点E作EF∥BD交AB于F，将△AEF沿EF折叠，点A的对应点A落在△BCD的边上时，AE的长为_____________．【答案】2或258【解析】【分析】分A落在BD上或BC上两种情况，分别画出示意图，根据矩形的性质以及折叠的性质求解即可．【详解】解：当A落在BD上时，如下图：∵在矩形ABCD中，3AB，4BC，∴5BD根据折叠的性质可知，'AMAM∵EF∥BD∴'12AEAMADAA∴142AE∴2AE；当A落在BC上时，如下图：∵//,90,EFBDANDBADADNADN∴ANDBAD∴DNADADBD∴16169,5555DNAN∵'ANBNANDN∴'2720AN∵'AMAM∴'125ANMNMN∴2140MN∴158AM∴15758124965AEAMAN∴7525248AE故答案为：2或258．【点睛】本题考查的知识点是矩形的性质、平行线的性质、折叠的性质、相似三角形的判定及性质，考查的范围较广，但难度不大，根据题意画出示意图是解此题的关键．8．如图，小杨将一个三角板放在O上,使三角板的一直角边经过圆心O,测得5ACcm,3ABcm,则O的半径长为______cm．【答案】3.4【解析】【分析】作OH⊥BC于H，如图，则CH=BH，先利用勾股定理计算出BC=34，则CH=342，再证明Rt△COH∽Rt△CBA，然后利用相似比计算OC即可．【详解】连接BC，作OH⊥BC于H，则CH=BH，在Rt△ACB中，BC=22=34ACAB，∴CH=13422BC，∵∠OCH=∠BCA，∴Rt△COH∽Rt△CBA，∴OCCHCBCA，即342534OC，解得，OC=3.4．故答案为：3.4．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和相似三角形的判定与性质．9．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走2米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于_________．【答案】4.5【解析】【分析】设BC之间的距离为x米，根据题意可得DGCDAB△∽△，FHEFAB△∽△，即GCCDABBD，HEEFABBF，代入数值解得x=2，进而求得AB，即可求得路灯的高度．【详解】如图，设BC之间的距离为x米，根据题意可得GCBF，HEBF，∴ABCGHE∥∥∴DGCDAB△∽△，FHEFAB△∽△，∴GCCDABBD，HEEFABBF，即1.511ABx，1.5222ABx，∴12122xx，解得2x，经检验2x是所列方程的解，∴1.513AB，解得4.5AB，经检验4.5AB是所列方程的解，故路灯的高为4.5米．故答案为：4.5．【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，涉及相似三角形的判定与性质、解分式方程等知识，会利用相似三角形的性质列出方程是解答的关键．10．平行于BC的直线DE把△ABC的面积平分，且交边AB、AC分别于点D、E，则DEBC的值为__________．【答案】22．【解析】【分析】利用相似三角形的性质即可求解．【详解】∵平行于BC的直线DE把△ABC的面积平分，∴ABCADE2SS，∵DE∥BC，∴△ADE~△ABC，∴2ADEABCSDESBC，即212DEBC，解得：22DEBC．故答案为：22．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握“相似三角形面积的比等于相似比的平方”是解题的关键．三、解答题11．（教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．（定理证明）请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．（定理应用）如图②，在矩形ABCD中，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且AE=2BE，点F在边CB上，CF=2BF．O为AC的中点，连结EF、OE、OF．（1）EF与AC的数量关系为__________．（2）OEF与ABC的面积比为___________．【答案】【定理证明】证明见解析；【定理应用】（1）EF与AC的数量关系为13EFAC；（2）OEF与ABC的面积比为2:9．【解析】【分析】定理证明：先根据相似三角形的判定与性质可得1,2DEADADEABCBCAB，再根据平行线的判定即可得证；定理应用：（1）先根据线段的比例关系可得13BEBFBABC，再根据相似三角形的判定与性质即可得；（2）如图（见解析），先根据三角形中位线定理可得11,22OMBCONAB，设,BEaBFb，再根据三角形的面积公式分别求出OEF与ABC的面积，由此即可得出答案．【详解】定理证明：点D、E分别是AB、AC的中点，12AEADACAB，在ADE和ABC中，12AEADACABAA，ADEABC，1,2DEADADEABCBCAB，//DEBC，且12DEBC；定理应用：（1）2,2AEBECFBF，13BEBFBABC，在BEF和BAC中，BEBFBABCBB，BEFBAC，13EFBFACBC，即13EFAC；（2）如图，过点O作OMAB于点M，作ONBC于点N，四边形ABCD是矩形，90B，即ABBC，//,//OMBCONAB，点O是AC的中点，OM、ON是ABC的两条中位线，11,22OMBCONAB，设,BEaBFb，则332,3,2,3,,22AEaABaCFbBCbOMbONa，1122BEFSBEBFab，1322AOESAEOMab，1322COFSCFONab，1922ABCSABBCab，OEFABCBEFAOECOFSSSSSab，2992OEFABCSabSab，即OEF与ABC的面积比2:9．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，运用到三角形中位线定理是解题关键．12．如图，在ABC中，90C，ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，圆O是BEF的外接圆．（1）求证：AC为圆O的切线；（2）若1tan2CBE，4AE，求圆O的半径．【答案】（1）证明见详解；（2